§ 1. Основные понятия

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

“Тобольский государственный педагогический институт

имени Д.И. Менделеева”

Кафедра алгебры и геометрии

Валицкас А.И.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ:

АЛГЕБРЫ И ГОМОМОРФИЗМЫ

Тобольск – 2001

С О Д Е Р Ж А Н И Е

	§ 1. Основные понятия: алгебраические операции, алгебры, подалгебры . . . . . . . . . . . . .	2
	§ 2. Полугруппы и группы . . . . . . . . . .	4
	§ 3. Кольца и поля . . . . . . . . . . . .	6
	§ 4. Подполугруппы, подгруппы, подкольца и подполя . .	8
	§ 5. Простейшие свойства полугрупп, групп, колец и полей	10
	§ 6. Гомоморфизмы полугрупп, групп, колец и полей . .	13
	§ 7. Алгебраические системы . . . . . . . . . .	16

Глава II. Алгебры и гомоморфизмы

§ 1. Основные понятия: алгебраические операции, алгебры, подалгебры

Развитие науки “алгебра” связано с развитием понятия “число”. Те числа, которые известны из школы – натуральные, целые, рациональные и действительные – неотделимы от операций над ними – сложения и умножения. Эти операции имеют хорошо знакомые свойства: коммутативность (перестановочность слагаемых и сомножителей), ассоциативность (сочетательный закон), дистрибутивность (распределительный закон). Эти свойства и кладутся в основу дальнейшего расширения понятия “число”.

Пусть А – произвольное непустое множество. Говорят, что на А задана бинарная алгебраическая операция , если  a, b  A  ! ab  A.

Примеры: 1. Обычные операции сложения + и умножения  на множествах N , Z , Q , R являются бинарными алгебраическими.

2. Операция вычитания – на множествах Z , Q , R является бинарной алгебраичес­кой.

3. Операция вычитания – на множестве N не является бинарной алгебраической, т.к. не всегда разность натуральных чисел будет натуральным числом, например, 1–2 = –1  N.

4. Операция деления / на множествах N , Z , Q , R не является бинарной алгебраической: для Z , Q , R она не всегда определена (на 0 делить нельзя), а для N результат деления двух натуральных чисел не всегда будет натуральным числом (например, 1 / 2  N).

5. Операция деления / двух чисел является бинарной алгебраической операцией на множествах Q \ {0}, R \ {0}, но не на Z \ {0}: результат деления двух целых чисел не всегда будет целым числом (например, 1 / 2  Z).

Иначе говоря, бинарная алгебраическая операция  – это отображение  : AA  A, сопоставляющая каждым двум элементам a, b  A однозначно определённый третий элемент a  b  A. Обобщая эту ситуацию, можно рассматривать n-арные алгебраические операции на множестве А: это произвольные отображения f :  A, сопоставляющие каждым n элементам a₁ , a₂ , … , a_n  A однозначно определённый элемент f(a₁ , a₂ , … , a_n)  A.

Таким образом, возникают понятия унарной алгебраической операции (функции f : A  A от одного аргумента), тернарной алгебраической операции (функции f : AAA  A от трёх аргументов), квартетной алгебраической операции (функции f : AAAA  A от четырёх аргументов), и.т.д. Иногда возникает потребность рассматривать функции от 0 аргументов – 0-арные алгебраические операции, под которыми понимают просто выделение во множестве А любого элемента a  A.

Примеры: 1. Отображение  ^–1 : R \ {0}  R \ {0}, где a^–1 = , является унарной алгебраической операцией на R \ {0}, но не на R (?!).

2. Отображение f : RRR  R, где f(a₁ , a₂ , a₃ ) = 2a₁ – 3a₂ + 5a₃ , является тернарной алгебраической операцией на R .

3. Элементы 1, 0, – это нульарные алгебраические операции на R, но не на Z (?!).

Пусть А – непустое множество,  – некоторое непустое множество алгебраических операций на А (возможно, различных арностей). Тогда упорядоченную пару (A, ) называют алгеброй.

Примеры: 1. (R , {+,  , 0, }) – алгебра с двумя бинарными операциями +,  и с двумя нульарными операциями 0, .

2. (Z , {+, –}) – алгебра с двумя бинарными операциями +, – .

3. (N , {+, 1, }) – алгебра с двумя бинарными операциями +,  и с одной нульарной операцией 1.

4. (R , { |   R}) – алгебра с бесконечным числом унарных алгебраических операций умножения на скаляры:  r  R r r .

5. Пусть Ф – множество всех формул исчисления высказываний. Тогда любую логическую связку   {  ,  ,  ,  } можно рассматривать как бинарную алгебраическую операцию, сопоставляющую каждым двум формулам A и B однозначно определённую третью формулу (A  B). Таким образом, (Ф, { ,  ,  ,  }) – алгебра с четырьмя бинарными алгебраическими операциями.

На Ф определена и унарная алгебраическая операция , ставящая в соответствие каждой формуле A однозначно определённую третью формулу . Итак, получается алгебра (Ф, { ,  ,  ,  , }) с четырьмя бинарными и одной унарной алгебраическими операциями.

6. Пусть U – универсальное множество, А = B(U) – множество всех его подмножеств. Тогда операции пересечения  , объединения  и разности \ – бинарные алгебраические на А, а операция дополнения – унарная, т.е. (B(U), { ,  , \ , }) – алгебра.

Если  = {₁ , … , _n } – конечное множество, то вместо (А, {₁ , … , _n }) будем писать просто (А, ₁ , … , _n ). Таким образом, (N , {+, 1, }) и (N , +, 1,  ) – одна и та же алгебра.

Пусть (А,  ) – алгебра,   B  A и для n-арной алгебраической операции    выполнено условие  b₁ , … , b_n  B (b₁ , … , b_n)  B. Тогда говорят, что B замкнуто относительно операции . Если В замкнуто относительно всех операций   , то каждую операцию    можно рассматривать как алгебраическую операцию на В, и алгебра (В, ) называется подалгеброй алгебры (А , ). В этом случае будем писать (В, )  (А , ).

Примеры: 1. В алгебре (Z , +, –, 0, 1) подмножество N замкнуто относительно операций +, 1, но не замкнуто относительно операций –, 0  N. Таким образом, (N, +, 1) – подалгебра в (Z , +, 1).

2. (Z , +, –, 0, 1) – подалгебра в (R , +, –, 0, 1).

3. ({0}, +,  , – ) – подалгебра в (Z , +, –,  )  (Q , +, –,  )  (R , +, –,  ).

4. Во множестве Ф всех формул исчисления высказываний рассмотрим подмножество И всех тождественно истинных формул: И = { A  Ф | A  1}. Тогда (И,  ,  ,  , ) – подалгебра в (Ф,  ,  ,  , ). При этом И не замкнуто относительно операции отрицания .

Аналогично можно рассмотреть в Ф и подмножество всех тождественно ложных формул Л = { A  Ф | A  0}. Тогда (Л,  ,  )  (Ф,  ,  ). Замкнуто ли Л относительно операций  ,  , ?

5. В алгебре (S(A), ) = (Bi(A), ) есть (по лемме о композиции функций специального вида) подалгебры (In(A), ), (Sur(A), ), (Map(A), ).

6. Если (С,  )  (B,  )  (A,  ), то (С,  )  (A,  ). Докажите !

7. ({, A},  , , \ , )  (B(A),  , , \ , ). Верно ли, что (,  ,  )  (B(A),  , ) ?