27. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства предела числовой последовательности, связанные с арифметическими действиями. Число е.

Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1, 2, 3, … , n – 1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un, следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u1, u2, u3, …, un-1, un, …, кратко обозначаемый {un}

и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой un=f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний пример).

Примеры числовых последовательностей:

1, 2, 3, 4, 5, … - ряд натуральных чисел;

2, 4, 6, 8, 10, … - ряд чётных чисел;

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … - числовая последовательность приближённых значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности, тем не менее эта последовательность описана полностью.

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N, что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a- , a+ ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M, что |un| M для всех n. Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.

Число е.

Число e выражается через предел следующим образом:

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:

Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

28. Предел функции. Свойства предела функции, связанные с арифметическими действиями.

29. Непрерывность функции в точке и ее свойства. Непрерывность функции на отрезке и ее свойства.

Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функции задаются условием , то часть свойств функций, непрерывных в точке , следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1 Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции , , непрерывны в точке . Если , то функция также непрерывна в точке .

Доказательство. Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

Предложение 3.3 Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точки и непрерывных в этой точке. Тогда это множество является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

Доказательство. Действительно, постоянные и - это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке пpоизведения и . Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке и сумма .

Теорема 3.2 Пусть функции и таковы, что существует композиция , . Пусть функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в соответствующей точке . Тогда композиция непрерывна в точке .

Доказательство. Заметим, что равенство означает, что при будет . Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке ). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке .

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базы или и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Теорема 3.3 Пусть функции и непрерывны слева (справа) в точке . Тогда функции , , непрерывны слева (соотв. справа) в точке . Если , то функция также непрерывна слева (спpава) в точке .

Теорема 3.4 Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке , а функция непрерывна в точке . Тогда композиция непрерывна слева (соотв. справа) в точке .

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в каждой точке интервала (а,b) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

а) Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [а,b], то она ограничена, т. е. (3)

- Предположим противное, тогда (4)

Полагая в (4) С = 1, 2, ..., n, ..., получим, что (5)

Последовательность ограничена, так как для всех . По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследовательность и точка такие, что

, (6)

где в силу условия (5) для любого выполняется неравенство

. (7)

Из условий (6) и (7) следует, что [а,b], а из условия (6) в силу непрерывности функции f в точке получаем

. (8)

С другой стороны, утверждение (5) выполняется при всех и, в частности, при n= (k =1,2,...), т. е.

,

откуда следует, что , так как при .

Это противоречит равенству (8), согласно которому последовательность { } имеет конечный предел. Поэтому условие (4) не может выполняться, т. е. справедливо утверждение (3).

б) Достижимость точных граней.

Теорема 4 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [а,b], то она достигает своей точной верхней и нижней грани,

т. е.

(9)

. (10)

Так как непрерывная на отрезке функция f(x) ограничена (теорема 3), т. е. множество значений, принимаемых функцией f на отрезке [а,b], ограничено, то существуют и .

Докажем утверждение (9). Обозначим М = . В силу определения точной верхней грани выполняются условия (11)

(12)

Полагая = 1, , , ..., , ..., получим в силу условия (12) последовательность , где , такую, что для всех выполняются условия

(13)

f( )>M - . (14)

Из соотношений (11), (13) и (14) следует, что

откуда получаем

= M. (15)

Как и в теореме 3, из условия (13) следует, что существуют подпоследовательность { } последовательности { } и точка такие, что

, где [а, Ь].

В силу непрерывности функции f в точке

. (16)

С другой стороны,{ )}—подпоследовательность последовательности { }, сходящейся, согласно условию (15), к числу М.

Поэтому . (17)

В силу единственности предела последовательности из (16) и (17)

заключаем, что f( ) = М = . Утверждение (9) доказано.

Аналогично доказывается утверждение (10).

в) Промежуточные значения.

Теорема 5 (теорема Коши о нулях непрерывной функции). Если функция f непрерывна на отрезке [а,b] и принимает в его концах значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < 0, то на отрезке [а,b] имеется хотя бы один нуль функции f, т. е. (18 )

Разделим отрезок [а,b] пополам. Пусть d — середина этого отрезка. Если f(d) = 0, то теорема доказана, а если , то в концах одного из отрезков [a, d], [d,b] функция f принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок . Пусть — середина отрезка . Возможны два случая:

, тогда теорема доказана;

, тогда в концах одного из отрезков , функция f принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим .

Продолжая эти рассуждения, получим:

1)либо через конечное число шагов найдется точка такая, что f(с) = 0; тогда справедливо утверждение (18 );

2)либо существует последовательность отрезков такая, что для всех , где An = [an,bn]; эта последовательность отрезков является стягивающейся, так как для любого

и (19)

По теор. Кантора существует точка с, принадлежащая всем отрезкам последовательности , т. е.

. (20)

Докажем, что f(с) = 0. (21)

Предположим, что равенство (21) не выполняется. Тогда либо f(с) > 0, либо f(с) < 0. Пусть, например, f(с) > 0. По свойству сохранения непрерывной функцией знака

. (22)

С другой стороны, из неравенства (19) следует, что при , и поэтому

. (23)

Так как с в силу условия (20), то из (23) следует, что и согласно условию (22) во всех точках отрезка функция f принимает положительные значения. Это противоречит тому, что в концах каждого из отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться условие (21).