22. Понятие множества, подмножества, пустого множества. Числовые множества.
23. Операции пересечения, объединения, разности двух множетв. Диаграммы Эйлера-Венна.
24. Понятие функции. Способы задания финкции.
Переменная величина y называется функцией переменной x, если каждому значению x соответствует определенное значение - число y.
Совокупность значений независимой переменной x, для которых определяются значения зависимой переменной y (т.е. значения функции y = f(x)) называется областью определения функции (или областью существования функции) и обозначается - Д.
Совокупность значений y, соответствующих всем значениям xϵД, называется областью изменения функции и обозначается - Е.
Функция может быть задана различными способами.
1. Табличный способ задания функции заключается в составлении таблицы:
x |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
y |
x1 |
y2 |
y3 |
y4 |
|
в которой заданным значениям независимой переменной x ставятся в соответствие определенные значения функции y.
2. Графический. Функция задается в виде графика (рис. 2).
3. Аналитический способ. Функция задается в виде формулы, например:
Свойства функции:
1) область определения D( f )
2) область область значений значений E( f )
3) четность, нечетность
4) монотонность
5) ограниченность
6) периодичность
25. Простейшие элементарные функции. Сложная функция. Элементарная функции.
Функция называется элементарной, если она задана одной формулой посредством конечного числа операций: сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции - над основными элементарными функциями.
Основными элементарными функциями называются:
Пример
элементарной функции:
Пример
неэлементарной функции:
Если функция u=φ(x) определена на области D, G - область ее значений, функция y=f(u) определена на области G, то функция y=f(φ(x))=T(x) называется сложной функцией, составленной из функции f и φ, или функцией f от функции φ. Функцию y=f(φ(x)) называют композицией двух функций y=f(u) и u=φ(x).
Сложная функция может быть композицией большего числа функций: трех, четырех и т.д. Например, функция y=cos(x2+1) - композиция двух функций y=cosu и u=x2+1; функция y=lg(sin2x) - композиция трех функций.
26. Ограниченные, монотонные, четные, нечетные, периодические функции.
Монотонная функция. Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2) > f (x1), то функция f (x) называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2) < f (x1), то функция f (x) называется убывающей. Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
Ограниченная
и неограниченная функции.
Функция называется ограниченной, если
существует такое положительное число
M, что |f (x)|
M для всех значений x. Если такого числа
не существует, то функция - неограниченная.
Примеры.
Функция, изображённая на рис.3, является ограниченной, но не монотонной. Функция на рис.4 - как раз наоборот, монотонная, но неограниченная.
Непрерывная и разрывная функции. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x=a, если :
1) функция определена при x=a, т.e. f (a) существует;
2) существует конечный предел lim f (x);
x→a
3) f (a) = lim f (x).
x→a
Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в точке x=a.
Если функция непрерывна во всех точках своей области определения, то она называется непрерывной функцией.
Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f(-x) =f(x), то функция называется чётной; если же имеет место: f(-x) = -f(x), то функция называется нечётной. График чётной функции симметричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат (рис.6).
Периодическая функция. Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Пример
1. Доказать, что sin x имеет период 2
.
Решение. Мы знаем, что sin (x+2 n) = sin x, где n = 0, ±1, ±2, …
Следовательно, добавление 2 n к аргументу синуса не меняет его значениe. Существует ли другое число с таким же свойством? Предположим, что P – такое число, т.e. равенство: sin(x+P) = sin x, справедливо для любого значения x. Но тогда оно имеет место и при x= /2, т.e. sin ( /2 + P) = sin /2 = 1. Но по формуле приведения sin ( /2 + P)= cos P. Тогда из двух последних равенств следует, что cos P = 1, но мы знаем, что это верно лишь при P = 2 n. Так как наименьшим отличным от нуля числом из 2 n является 2 , то это число и есть период sin x. Аналогично доказывается, что 2 является периодом и для cos x. Докажите, что функции tan x и cot x имеют период .
Пример 2. Какое число является периодом функции sin 2x?
Решение. Рассмотрим sin 2x = sin (2x + 2 n) = sin [2 (x + n)]. Мы видим, что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции. Наименьшее отличное от нуля число из n есть , таким образом, это период sin 2x.
Нули функции. Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем) функции. Функция может иметь несколько нулей. Например, функция y=x(x+1) (x-3) имеет три нуля: x=0, x=-1, x=3. Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х.
На рис.7 представлен график функции с нулями: x=a, x=b и x=c.
Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.