16. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.

Угол между прямыми.

Пусть даны уравнения прямых (1) A₁x + B₁y + C₁ = 0 и (2) A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Требуется найти угол φ между прямыми (1) и (2).

Угол φ ϵ [0⁰;90⁰]

(Проиллюстрировать 2 случая: φ = ψ и φ = 180⁰ - ψ)

Т.к. cos(180⁰ - ψ) = - cosψ, то из случая 1, 2 следует, что cosφ = │cosψ│.

С одной стороны, N̄₁*N̄₂ = A₁A₂ + B₁B₂, с другой стороны, по определению N̄₁*N̄₂ = │N̄₁│*│N̄₂│*cosψ, где │N̄₁│= A₁² + B₁², │N̄₂│= A₂² + B₂².

Поэтому │N̄₁│*│N̄₂│*cosψ = A₁A₂ + B₁B₂, откуда cosψ = A₁A₂ + B₁B₂ / │N̄₁│*│N̄₂│. Поэтому cosψ =│cosψ│=│A₁A₂ + B₁B₂│ / √A₁²+B₁² * √A₂²+B₂²

Расстояние от точки до прямой.

Пусть даны точка M₀(x₀;y₀) и прямая Ax + By + C = 0.

Требуется найти расстояние d от точки M₀(x₀;y₀) до прямой.

MD = d

MD = Пр_N̄M̄M̄₀ =│M̄M̄₀│* cosφ

M̄M̄₀ = {x₀-x;y₀-y}

С одной стороны N̄*M̄M̄₀ = A(x₀-x) + B(y₀-y) = A_Xo + B_Yo – (Ax + By) = A_Xo + B_Yo – (-C) = A_Xo + B_Yo + C.

С другой стороны, по определению N̄*M̄M̄₀ = │N̄│*│M̄M̄₀│* cosφ

│M̄M̄₀│* cosφ = N̄₁*M̄M̄₀ / │N̄│

Т.к. d ≥ 0, то d равное │M̄M̄₀│* cosφ = │N̄₁*M̄M̄₀│ / │N̄│, откуда d = │A_Xo + B_Yo + C│ / √A²+B²

Расстояние между параллельными прямыми.

Пусть прямая A₁x + B₁y + C₁ = 0 параллельна прямой A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Требуется найти расстояние d между этими прямыми.

Чтобы найти искомое расстояние d, надо определить координаты некоторой точки (1) прямой, полагая значение x – произвольному числу, тогда y – найдем из уравнения прямой.

Например: пусть x = 0, тогда y = - C₁/B₁ и точка M₀(0; - C₁/B₁) лежит на (1) прямой. Теперь находим расстояние от точки M₀ до (2) прямой. Это и будет искомое расстояние.

17. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербала, парабола.

Кривые, которые описываются уравнениями второго порядка с двумя переменными называются кривыми второго порядка является окружность.

Окружность.

Пусть дана окружность радиусом R с центром в точке M₀(x₀;y₀).

Требуется составить уравнение этой окружности.

(рисунок)

Из ΔM:

M₀AM = x-x₀, AM = y-y₀

По теореме Пифагора (M₀A)² + (AM)² = R² (x-x₀)² + (y-y₀)² = R²

Эллипс.

x² / a² = y² / b² = 1 – каноническое уравнение эллипса.

(рисунок)

AC – большая ось эллипса

BD – малая ось эллипса

F₁, F₂ – фокусы

F₁F₂ = 2c – фокальное расстояние

B = √a²-c²

F₂M + MF₁ = 2a – характеристическое свойство точки эллипса.

Гипербола.

x²/b² – y²/a² = 1 – каноническое уравнение гиперболы.

(рисунок)

AC – действительная ось гиперболы.

BD – мнимая ось гиперболы.

Точки F1, F2 – фокусы гиперболы

F₁F₂ = 2c – фокальное расстояние гиперболы

y = b/a * x и y = -b/a * x – асимптоты гиперболы

b = √c²-a²

F₂M – F₁M= 2a – характеристическое свойство гиперболы

Парабола.

y² = 2px – каноническое уравнение параболы

(рисунок)

p – фокальное … параболы.

F – фокус параболы

AF = p

FM = MD – характеристическое свойство точек параболы

18. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пусть плоскость α проходит через точки M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂), M₃(x₃;y₃;z₃).

Требуется составить уравнение плоскости α.

M̄₁M̄ = {x-x₁;y-y₁;z-z₁} M̄₁M̄₂ = {x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁} M̄₁M̄₃ = {x₃-x₁;y₃-y₁;z₃-z₁}

Т.к. векторы M̄₁M̄, M̄₁M̄₂, M̄₁M̄₃ лежат в одной плоскости, то они компланарны по определению. Известно, что три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (M̄₁M̄, M̄₁M̄₂, M̄₁M̄₃) = 0

Т.к. смешанное произведение вектора (M̄₁M̄, M̄₁M̄₂, M̄₁M̄₃) =

│ (x-x₁); (y-y₁); (z-z₁) │ │ (x-x₁); (y-y₁); (z-z₁)│

│(x₂-x₁);(y₂-y₁);(z₂-z₁)│, то этот определитель равен │(x₂-x₁);(y₂-y₁);(z₂-z₁)│ = 0 -

│(x₃-x₁);(y₃-y₁);(z₃-z₁)│ │(x₃-x₁);(y₃-y₁);(z₃-z₁)│

уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость α проходит через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярно вектору N̄ = {A,B,C}.

Требуется составить уравнение плоскости α.

N̄┴α, то N̄┴M̄₀M̄

N̄┴M̄₀M̄ <=>, когда N̄*M̄₀M̄ = 0

Т.к. M̄₀M̄ = {x-x₀;y-y₀;z-z₀}, то N̄*M̄₀M̄ = A(x-x₁) + B(y-y₁) + C(z-z₁)

Поэтому A(x-x₁) + B(y-y₁) + C(z-z₁) = 0 – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.