- •1. Векторные и скалярные величины. Длина вектора. Нулевой вектор. Равные, коллинеарные, противоположные, компланарные векторы.
- •3. Координаты вектора, точки. Координаты суммы, разности двух векторов и произведения вектора на число.
- •4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Необходимые и достаточные условия ортогональности двух векторов. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами.
- •5. Понятие определителя квадратной матрицы второго и третьего порядков.
- •6. Правило вычисления определителя второго порядка.
- •7. Вычисление определителя третьего порядка по правилу треугольника, по правилу Саррюса, по правилу разложения по элементам любой строки или столбца.
- •8. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера.
- •9. Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение двух векторов и его геометрический смысл. Свойства векторного произведения.
- •10. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами.
- •11. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл.
- •12. Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами.
- •13. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой.
- •14. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •15. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •16. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
- •17. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербала, парабола.
- •18. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •19. Общее уравнение плоскости и его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •20. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
- •21. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
- •22. Понятие множества, подмножества, пустого множества. Числовые множества.
- •23. Операции пересечения, объединения, разности двух множетв. Диаграммы Эйлера-Венна.
- •24. Понятие функции. Способы задания финкции.
- •25. Простейшие элементарные функции. Сложная функция. Элементарная функции.
- •26. Ограниченные, монотонные, четные, нечетные, периодические функции.
- •27. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства предела числовой последовательности, связанные с арифметическими действиями. Число е.
- •28. Предел функции. Свойства предела функции, связанные с арифметическими действиями.
- •29. Непрерывность функции в точке и ее свойства. Непрерывность функции на отрезке и ее свойства.
- •30. Непрерывность элементарных функций. Первый и второй замечательные пределы.
12. Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами.
Пусть а̄ = {x1,y1,z1}, b̄ = {x2,y2,z2}, c̄ = {x3,y3,z3}. Тогда (а̄, b̄, c̄) = │x1 y1 z1│
│x1 y1 z1│
│x1 y1 z1│
Ненулевые векторы а̄, b̄, c̄ коллинеарны <=>, когда (а̄, b̄, c̄) = 0.
13. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
Даны точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2).
Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точки М1 и М2.
M̄1M̄ = {x-x1; y-y1}
M̄1M̄2 = {x2-x1; y2-y1}
M̄1M̄║M̄1M̄2 <=> Ǝ λ : M̄1M̄ = λM̄1M̄2 <=>
x-x1 = λ(x2-x1), y-y1 = λ(y2-y1), откуда λ = x-x1 / x2-x1, λ = y-y1 / y2-y1, откуда
x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 – каноническое уравнение прямой, проходящей через точки М1 и М2.
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой вида x/a + y/b = 1, где a,b – это числа отличные от нуля, называется уравнение прямой в отрезках. Ясно, что точка A (a;0) лежит на пересечении этой прямой с осью Ox, а точка B(0;b) лежит на пересечении этой прямой с осью Oy.
Построить прямую x/2 – y/3 = 1. Решение: Т.к. уравнение имеет вид x/2 + y/(-3) = 1, то прямая проходит через точку A(2;0) и точку B(0;-3).
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0;y0) и имеющей угловой коэффициент.
Пусть прямая проходит через точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2). Из Δ M1AM2 : M1A = x2-x1, AM2 = y2-y1, tgα = AM2 / M1A = y2-y1 / x2-x1
Известно, что tgα = k – угловой коэффициент данной прямой. Т.к. уравнение прямой проходит через точки М1 и М2 и имеет вид x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1, то y-y1 = (y2-y1 / x2-x1) * (x-x1), откуда y-y1 = k(x-x1).
Если вместо точки M1(x1;y1) взять точку M0(x0;y0), то получим уравнение y-y0 = k(x-x0), которое и будет уравнением прямой, проходящей через точку M0(x0;y0) и имеющей угловой коэффициент.
14. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0;y0) и параллельной вектору t̄ = {a;-b}.
M̄0M̄ = {x-x0;y-y0}
Т.к. M̄0M̄║t̄ <=> Ǝ λ : M̄0M̄ = λt̄ <=> x-x0 = λa, y-y0 = λb, откуда λ = x-x0 / a, λ = y-y0 /b, откуда x-x0/a = y-y0/b – каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0;y0) и параллельной вектору t̄ = {a;-b}.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0;y0) и перпендикуной вектору N̄ = {A;B}.
M̄0M̄ = {x-x0;y-y0}
Т.к. N̄ ┴ M̄0M̄ <=> N̄ * M̄0M̄ = 0
Т.к. N̄ * M̄0M̄ = A(x-x0) + B(y-y0), то A(x-x0) + B(y-y0) = 0 – уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0;y0) и перпендикулярной вектору N̄.
15. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Общее уравнение прямой.
Уравнение вида (1) Ax + By + C = 0, где A, B, C – числа, называется общим уравнением прямой.
Вектор N̄ = {A;B} перпендикулярен прямой (1) и называется нормальным вектором для прямой (1).
Вектор t̄ = {-B;A} параллелен прямой (1) и называется направляющим вектором для прямой (1).
Частные случаи:
1) A ≠ 0, B = C = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид Ax = 0 и x = 0 – уравнение оси Oy.
2) A = 0, B ≠ 0, C = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид By = 0 или y = 0 – уравнение оси Ox.
3) A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0. Тогда уравнение (1) принимает вид Ax + By = 0 – уравнение прямой, проходящей через начало координат.
4) A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид Ax + C = 0 или x = - C / A – уравнение прямой, параллельной оси Oy.
5) A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0. Тогда уравнение (1) принимает вид By + C = 0 или y = - C / B – уравнение прямой, параллельной оси Ox.
Условия параллельности двух прямых.
Пусть прямая A1x + B1y + C1 = 0 параллельна прямой A2x + B2y + C2 = 0. Тогда их параллельные векторы N̄1 = {A1;B1} и N̄2 = {A2;B2} так же параллельны.
Известно, что N̄1║N̄2 <=> Ǝ λ : N̄1 = λN̄2 => A1 = λA2, B1 = λB2 откуда λ = A1/A2, λ = B1/B2 => A1/A2 = B1/B2 – условие параллельности двух прямых.
Условие перпендикулярности двух прямых.
Если прямая A1x + B1y + C1 = 0 перпендикулярна прямой A2x + B2y + C2 = 0, то их нормальные векторы N̄1 = {A1;B1} и N̄2 = {A2;B2} так же перпендикулярны.
Известно, что N̄1┴N̄2 <=> N̄1 * N̄2 = 0. Т.к. N̄1 * N̄2 = A1A2 + B1B2, то A1A2 + B1B2 = 0 - условие перпендикулярности двух прямых.