8. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными по правилу Крамера. Пусть даны системы
a1x + b1y + c1z = d1
(1) a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Теорема (правило Крамера). Пусть Δ – определитель основной матрицы системы (1), т.е.
│а1 b1 с1│
Δ = │а2 b2 с2│
│а3 b3 с3│
Если Δ ≠ 0, то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формуле x = Δ1 / Δ, y = Δ2 / Δ, z = Δ3 / Δ, где Δ1 получается из Δ путем замены 1-ого столбца столбцом свободных членов, Δ2 получается из Δ путем замены 2-ого столбца столбцом свободных членов, Δ3 получается из Δ путем замены 3-его столбца столбцом свободных членов.
9. Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение двух векторов и его геометрический смысл. Свойства векторного произведения.
Говорят, что три некомпланарных вектора а̄, b̄ и c̄ образуют правую тройку, если после приведения их к общему началу c̄ оказывается по ту сторону от плоскости, в которой лежат векторы а̄ и b̄, откуда кратчайший поворот от а̄ к b̄ кажется совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов а̄, b̄ и c̄ называется левой.
Векторным произведением ненулевых векторов а̄ и b̄ называется такой третий c̄, который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) │c̄│ = │а̄│*│ b̄│* sin(а̄ ,̂ b̄)
2) c̄ ┴ а̄, ┴ b̄
3) тройка векторов а̄, b̄ и c̄, рассматриваемая в указанном порядке, является правой.
[а̄, b̄] – символ векторного произведения векторов а̄ и b̄. По определению длина этого вектора равна │[а̄, b̄]│ = │а̄│*│ b̄│* sin(а̄ ,̂ b̄), [а̄, b̄] ┴ а̄, [а̄, b̄] ┴ b̄, а̄, b̄,[а̄, b̄] – правая тройка.
Геометрический смысл векторного произведения.
│[а̄, b̄]│ = S - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Доказательство: Из геометрии известно, что S = │а̄│*│b̄│* sin(а̄ ,̂ b̄) (по определению) = │[а̄, b̄]│, что и требовалось доказать.
Простейшие свойства векторного произведения:
1) [а̄, b̄] = - [а̄, b̄] (свойство антикоммутативности)
2) Если k – число, то [kа̄, b̄] = [а̄,kb̄] = k[а̄, b̄]
3) [а̄, b̄ + c̄] = [а̄,b̄] + [а̄,c̄] (свойство дистрибутивности)
10. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами.
Пусть а̄ = {x1,y1,z1}, b̄ = {x2,y2,z2}. Тогда [а̄, b̄] = │ī j̄ k̄ │
│x1 y1 z1│ = ī │y1 z1│ -
│x2 y2 z2│ │y2 z2│
- j̄ │x1 z1│ + k̄ │x1 y1│ => [а̄, b̄] = │y1 z1│; - │x1 z1│; │x1 y1│
│x2 z2│ │x2 y2│ │y2 z2│ │x2 z2│ │x2 y2│
Ненулевые векторы а̄ и b̄ коллинеарны <=>, когда их векторное произведение равно Ō.
Доказательство: Если а̄ ║ b̄, то (а̄ ,̂ b̄) = 00. Тогда │[а̄, b̄]│ = │а̄│*│b̄│* sin00 = │а̄│*│ b̄│* 0 = 0 => [а̄, b̄] = Ō
Достаточно. Пусть │[а̄, b̄]│ = Ō => │[а̄, b̄]│ = 0 => │а̄│*│b̄│* sin(а̄ ,̂ b̄) = 0 => т.к. │а̄│ ≠ 0, │b̄│ ≠ 0, то sin(а̄ ,̂ b̄) = 0 => [а̄, b̄] = 00 => а̄ ║ b̄
11. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл.
Смешанным произведением трех векторов а̄, b̄, c̄ называется скалярное произведение [а̄, b̄] на c̄ и обозначается (а̄, b̄, c̄). По определению (а̄, b̄, c̄) = [а̄, b̄] * c̄.
Геометрический смысл смешанного произведения трех векторов.
Абсолютная величина смешанного произведения векторов а̄, b̄, c̄ равна объему параллелепипеда, построенного на векторах а̄, b̄, c̄.
Доказательство:
Из Δ BDC : H = │c̄│* cos(c̄ ,̂ [а̄, b̄]). Пусть V – объем параллелепипеда.
Из геометрии известно, что V = H * S = │c̄│ * │[а̄, b̄]│ * cos(c̄ ,̂ [а̄, b̄]) = [а̄, b̄] * c̄ = (а̄, b̄, c̄).
Если (c̄ ,̂ [а̄, b̄]) < 900, то cos(c̄ ,̂ [а̄, b̄]) > 0 и (а̄, b̄, c̄) > 0.
Если 900 < (c̄ ,̂ [а̄, b̄]) < 1800, cos(c̄ ,̂ [а̄, b̄]) < 0 => (а̄, b̄, c̄) < 0. => V = │(а̄, b̄, c̄)│