3. Координаты вектора, точки. Координаты суммы, разности двух векторов и произведения вектора на число.

Для описания вектора объекта в пространстве вводят прямоугольную декартову систему координат Оxyz.

Любой вектор а̄ в пространстве имеет три координаты x, y, z, которые лежат соответственно 1-ая на оси Ох, 2-ая на оси Оу, 3-я на оси Оz, причем х = Пр_ī а̄, y = Пр_j̄ а̄, z = Пр_k̄ а̄.

Координатами точки М называются координаты радиус вектора О̄М̄̄, т.е. Хм = Пр_ī О̄M̄, Yм = Пр _j̄ О̄M̄, Zм = Пр _k̄ О̄M̄.

Если а̄ = {x,y,z}, то а̄ = х*ī + у*j̄ + z*k̄ (линейная комбинация).

Координаты суммы, разности двух векторов и произведение вектора на число.

Если а̄ = {x₁,y₁,z₁}, b̄ = {x₂,y₂,z₂} и λ – некоторое число, то

а̄ + b̄ = {x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂}

а̄ - b̄ = {x₁-x₂,y₁-y₂,z₁-z₂}

λа̄ = {λx₁,λy₁,λz₁}

Координаты вектора. Если известны координаты его начала и конца, то А̄B̄ = {Х_В-Х_А,Y_B-Y_A,Z_B-Z_A}.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Необходимые и достаточные условия ортогональности двух векторов. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами.

а̄ * b̄ - символ скалярного произведения векторов а̄ и b̄. По определению а̄ * b̄ = │а̄│*│ b̄│* cos(а̄ ,̂ b̄).

Пусть а̄ = b̄, тогда а̄ * а̄ = а̄² = │а̄│*│а̄│* cos0⁰ = │а̄│² => а̄² = │а̄│²

Свойства:

1) а̄ * b̄ = b̄ * а̄ (свойство коммутативности)

2) λ(а̄ * b̄) = (λа̄) * b̄ = а̄ * (λ b̄), где λ – число (свойство ассоциативности)

3) а̄ * (b̄ + c̄) = а̄ * b̄ + а̄ * c̄ (свойство дистрибутивности)

Теорема 1. а̄ ┴ b̄ <=>, когда Ǝ число λ, такое что а̄ = λ * b̄.

Теорема 2. а̄ и b̄ ┴ <=>, когда их а̄ * b̄ = 0.

Если а̄ = {x₁,y₁,z₁}, b̄ = {x₂,y₂,z₂}, то а̄ * b̄ = {x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂}

а̄² = │а̄│² => │а̄│ = √а̄² = √x₁² + y₁² + z₁²

cos(а̄ ,̂ b̄) = а̄ * b̄ / │а̄│*│ b̄│ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ / √x₁² + y₁² + z₁² * √x₂² + y₂² + z₂²

5. Понятие определителя квадратной матрицы второго и третьего порядков.

Таблица А = │а₁₁ а₁₂│ называется квадратной матрицей второго порядка.

│а₂₁ а₂₂│

Каждой матрице второго порядка ставится в соответствие единственное число, которое называется определителем и обозначается │А│ = │а₁₁ а₁₂│ = а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁

│а₂₁ а₂₂│

Для прямоугольных матриц определители не определяются.

│а₁₁ а₁₂ а₁₃│

А = │а₂₁ а₂₂ а₂₃│ называется квадратной матрицей третьего порядка, где a_ij –

│а₃₁ а₃₂ а₃₃│

числа, ij = 1,2,3. Каждой квадратной матрице третьего порядка ставится в соответствие единственное число, которое называется определителем матрицы А и обозначается │А│.

6. Правило вычисления определителя второго порядка.

│А│ = │а₁₁ а₁₂│ = а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁

│а₂₁ а₂₂│

7. Вычисление определителя третьего порядка по правилу треугольника, по правилу Саррюса, по правилу разложения по элементам любой строки или столбца.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

Правило разложения по элементам любой строки или столбца

Определитель матрицы А вычисляется по формуле (по строке)

│а₁₁ а₁₂ а₁₃│

│А│ = │а₂₁ а₂₂ а₂₃│ = а₁₁ │а₂₂ а₂₃│ - а₁₂ │а₂₁ а₂₃│ + а₁₃ │а₂₁ а₂₂│

│а₃₁ а₃₂ а₃₃│ │а₃₂ а₃₃│ │а₃₁ а₃₃│ │а₃₁ а₃₂│

Определитель матрицы А вычисляется по формуле (по столбцу)

│а₁₁ а₁₂ а₁₃│

│А│ = │а₂₁ а₂₂ а₂₃│ = а₁₂ │а₂₁ а₂₃│ - а₂₂ │а₁₁ а₁₃│ + а₃₂ │а₁₁ а₁₃│

│а₃₁ а₃₂ а₃₃│ │а₃₁ а₃₃│ │а₃₁ а₃₃│ │а₂₁ а₂₃│