- •1. Векторные и скалярные величины. Длина вектора. Нулевой вектор. Равные, коллинеарные, противоположные, компланарные векторы.
- •3. Координаты вектора, точки. Координаты суммы, разности двух векторов и произведения вектора на число.
- •4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Необходимые и достаточные условия ортогональности двух векторов. Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами.
- •5. Понятие определителя квадратной матрицы второго и третьего порядков.
- •6. Правило вычисления определителя второго порядка.
- •7. Вычисление определителя третьего порядка по правилу треугольника, по правилу Саррюса, по правилу разложения по элементам любой строки или столбца.
- •8. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом Крамера.
- •9. Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение двух векторов и его геометрический смысл. Свойства векторного произведения.
- •10. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами.
- •11. Смешанное произведение трех векторов и его геометрический смысл.
- •12. Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами.
- •13. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках. Угловой коэффициент прямой.
- •14. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •15. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
- •16. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
- •17. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербала, парабола.
- •18. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
- •19. Общее уравнение плоскости и его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
- •20. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
- •21. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
- •22. Понятие множества, подмножества, пустого множества. Числовые множества.
- •23. Операции пересечения, объединения, разности двух множетв. Диаграммы Эйлера-Венна.
- •24. Понятие функции. Способы задания финкции.
- •25. Простейшие элементарные функции. Сложная функция. Элементарная функции.
- •26. Ограниченные, монотонные, четные, нечетные, периодические функции.
- •27. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства предела числовой последовательности, связанные с арифметическими действиями. Число е.
- •28. Предел функции. Свойства предела функции, связанные с арифметическими действиями.
- •29. Непрерывность функции в точке и ее свойства. Непрерывность функции на отрезке и ее свойства.
- •30. Непрерывность элементарных функций. Первый и второй замечательные пределы.
1. Векторные и скалярные величины. Длина вектора. Нулевой вектор. Равные, коллинеарные, противоположные, компланарные векторы.
Величины, которые при выбранной единице измерения полностью определяются своим числовым значением, называются скалярными. (длина, масса и т.д.)
Величины, которые при выбранной единице измерения полностью определяются своим числовым значением и направлением в пространстве, называются векторными. (перемещение, сила, скорость, ускорение и т.д.)
Длина отрезка АВ называется длиной вектора ĀB̄ о обозначается │ĀB̄│
Вектор, имеющий нулевую длину, называется нулевым вектором и обозначается Ō. Ō не имеет направления.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых. а̄║ b̄ и читают: «а̄ коллинеарен b̄».
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, их длины равны, направления одинаковые.
Два вектора называются противоположными, если они коллинеарны, их длины равны, а направления противоположны.
Три вектора а̄, b̄ и с̄ называются компланарными, если она параллельны одной и той же плоскости или лежат в одной и той же плоскости.
Два вектора а̄ и b̄ называют ортогональными или перпендикулярными, если угол между ними равен 900.
2. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Сумма, разность двух векторов. Правила треугольника и параллелограмма. Произведение вектора на число. Необходимые и достаточные условия коллинеарности двух векторов.
Совместим начала двух вектором, получим угол, который называется углом между этими векторами. Символ угла между векторами – (а̄ ,̂ b̄)
Ортогональная проекция вектора на ось. Осью называется прямая, на которой имеется точка отсчета, указана единица измерения (масштаб) и положительное направление. Масштаб и положительное направление будем задавать с помощью единичного вектора. Точка О – начало отсчета, │е̄│=1, тогда можно говорить, что задана ось l.
Ортогональной проекцией вектора а на ось l называют число равное произведению │а̄│ на cos угла между ними положительным направлением оси l и вектора а̄. Ясно, что это будет угол между вектором е̄ и вектором а̄. Символ ортогональной проекции вектора а̄ на ось l – Пре̄ а̄.
По определению Пре̚ а̄ = │а̄│* cos(е̄ ,̂ а̄)
Возможны следующие случаи:
1) (е̄ ,̂ а̄) > 0, но < 900
Пр е̄ а̄ = ОА = │а̄│* cos(е̄ ,̂ а̄) > 0
2) (е̄ ,̂ а̄) = 900
Пр е̄ а̄ = │ а̄│* cos900 = │а̄│*0 = 0
3) 900 ≤ (е̄ ,̂ а̄) ≤ 1800
Пр е̄ а̄ = ОВ = │а̄│* cos(е̄ ,̂ а̄) < 0
Сумма векторов. Суммой двух векторов называется такой третий вектор, который находится по правилу треугольника или параллелограмма.
Правило треугольника. Пусть даны а̄ и b̄. Найти сумму а̄ + b̄.
Совмещаем конец а̄ с началом b̄, затем соединяем начало а̄ с концом b̄ и ставим стрелку. Это и будет с̄ равный а̄ + b̄.
Правило параллелограмма. Совмещаем начало а̄ и b̄, затем полученный угол достраиваем до параллелограмма и из точки совмещения проводим диагональ в противоположную вершину. Ставим стрелку. Это и будет c̄ равный а̄ + b̄.
Разность векторов. Разность а̄ - b̄ называется а̄ и b̄ сумма векторов а̄ и (-b̄) противоположного b̄, т.к. а̄ - b̄ = а̄ + (-b̄).
Произведение вектора на число. Произведением а̄ на отличительное от нуля число λ называется вектор, длина которого равна │λ│*│а̄│, а направление совпадает с а̄, если λ>0, и противоположна направлению а̄, если λ<0.
λ*а̄ - символ произведения вектора а̄ на число. По определению │λа̄│ = │λ│*│а̄│
Абсолютной величиной числа λ, обозначается │λ│, по определению считают │λ│ = λ, если λ≥0; -λ, если λ≤0.
Пусть даны векторы а̄1, а̄2, …, а̄n. Линейной комбинацией векторов а̄1, а̄2, …, а̄n называется сумма λ1а̄1, λ2а̄2, …, λnа̄n, где λi, i = 1, n, некоторые числа.