Задача № 1

Фирма планирует реализацию одного из коммерческих проектов. Причем известны экспертные оценки, связанные с реализацией этих проектов (таблица 1.1).

Выбрать рациональный вариант коммерческого проекта, если среднегодовая прибыль от реализации проекта должна быть не менее 4,5 млн. у.е. при минимальном риске.

Задачу решить по следующей схеме:

- оценить эффективность проекта по критерию ожидаемой среднегодовой прибыли;

- определить допустимые проекты, исходя из заданного уровня среднегодовой прибыли;

- оценить риск допустимых проектов на основе коэффициента вариации ожидаемой среднегодовой прибыли;

- из множества допустимых проектов выбрать рациональный вариант коммерческого проекта, которому соответствует минимальный риск.

Таблица 1.1

Исходные данные для расчета

Оценка ожидаемой прибыли	Проект
	1	2	3	4	5	6
Пессимистическая оценка Xmin (млн. у.е. в год)	2	3	2	4	4	2
Оптимистическая оценка Xmax (млн. у.е. в год)	6	8	9	7	8	7

Решение

Степень риска коммерческого проекта возможно оценить с помощью коэффициента вариации, который характеризует относительный разброс случайной величины в виде ожидаемой прибыли от реализации проекта.

. (1.1)

Чем больше коэффициент вариации, тем больше неопределенность в отношении ожидаемой прибыли и, следовательно, тем больше степень риска коммерческого проекта. Причем принято выделять следующие уровни риска:

Kvar < 10% - малая степень риска;

Kvar = (10-25)% - средняя степень риска;

Kvar > 25% - высокая степень риска.

MO и SIGMA ожидаемой среднегодовой прибыли от реализации коммерческих проектов определяется на основе приближенных соотношений для -распределения:

;

.

Таблица 1.2

Оценка степени риска коммерческого проекта

Показатель	Проект
	1	2	3	4	5	6
МО	3,6	5	4,8	5,2	5,6	4
SIGMA	0,8	1	1,4	0,6	0,8	1
Kvar	22,2	20,0	29,2	11,5	14,3	25,0
Степень риска	средняя	средняя	высокая	средняя	средняя	средняя

По критерию ожидаемой среднегодовой прибыли (МО) предпочтителен проект № 5 (самая большая прибыль);

По уровню среднегодовой прибыли (SIGMA) наиболее благоприятен проект №3.

На основе коэффициента вариации выберем проект № 4 (самая маленькая степень риска).

Из множества допустимых проектов выбрать самым рациональным является проект №5.

Задача № 2

Фирма планирует создание сервисного центра по обслуживанию и сопровождению своих изделий. Прибыль сервисного центра зависит от количества АРМ x_j и потока заказов на обслуживание S_i.

Задачу решить по следующей схеме:

- осуществить выбор рациональной стратегии, используя перечисленные критерии: Лапласа; Байеса с вероятностями 0,15; 0,5; 0,35, Вальда; Сэвиджа; Гурвица (α=0,4);

- определить рациональное компромиссное решение;

- обосновать полученное решение с использованием рассчитанных критериев для принятия решения в условиях неопределенности.

Таблица 2.1

Исходные данные для расчета

Кол-во АРМ	Годовой поток заказов
	S1=10	S2=20	S3=30
Х1=4	180	210	200
Х2=5	120	200	230
Х3=6	80	180	250
Х4=7	20	160	260

Решение

Критерий Байеса.

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) A_i, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.

Считаем значения ∑(a_ijp_j)

∑(a_1,jp_j) = 180•0.15 + 210•0.5 + 200•0.35 = 202

∑(a_2,jp_j) = 120•0.15 + 200•0.5 + 230•0.35 = 198.5

∑(a_3,jp_j) = 80•0.15 + 180•0.5 + 250•0.35 = 189.5

∑(a_4,jp_j) = 20•0.15 + 160•0.5 + 260•0.35 = 174

Ai	П1	П2	П3	∑(aijpj)
A1	27	105	70	202
A2	18	100	80.5	198.5
A3	12	90	87.5	189.5
A4	3	80	91	174
pj	0.15	0.5	0.35	0

Выбираем из (202; 198.5; 189.5; 174) максимальный элемент max=202

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Лапласа.

Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:

q₁ = q₂ = ... = q_n = 1/n.

q_i = 1/3

Ai	П1	П2	П3	∑(aij)
A1	60	70	66.67	196.67
A2	40	66.67	76.67	183.33
A3	26.67	60	83.33	170
A4	6.67	53.33	86.67	146.67
pj	0.333	0.333	0.333	0

Выбираем из (196.67; 183.33; 170; 146.67) максимальный элемент max=196.67

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Вальда.

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.

a = max(min a_ij)

Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Ai	П1	П2	П3	min(aij)
A1	180	210	200	180
A2	120	200	230	120
A3	80	180	250	80
A4	20	160	260	20

Выбираем из (180; 120; 80; 20) максимальный элемент max=180

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Севиджа.

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:

a = min(max r_ij)

Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

Находим матрицу рисков.

Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.

1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.

r₁₁ = 180 - 180 = 0; r₂₁ = 180 - 120 = 60; r₃₁ = 180 - 80 = 100; r₄₁ = 180 - 20 = 160;

2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.

r₁₂ = 210 - 210 = 0; r₂₂ = 210 - 200 = 10; r₃₂ = 210 - 180 = 30; r₄₂ = 210 - 160 = 50;

3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.

r₁₃ = 260 - 200 = 60; r₂₃ = 260 - 230 = 30; r₃₃ = 260 - 250 = 10; r₄₃ = 260 - 260 = 0;

Ai	П1	П2	П3
A1	0	0	60
A2	60	10	30
A3	100	30	10
A4	160	50	0

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Ai	П1	П2	П3	max(aij)
A1	0	0	60	60
A2	60	10	30	60
A3	100	30	10	100
A4	160	50	0	160

Выбираем из (60; 60; 100; 160) минимальный элемент min=60

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:

max(s_i)

где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)

При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).

Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.

Рассчитываем s_i.

s₁ = 0.4•180+(1-0.4)•210 = 198

s₂ = 0.4•120+(1-0.4)•230 = 186

s₃ = 0.4•80+(1-0.4)•250 = 182

s₄ = 0.4•20+(1-0.4)•260 = 164

Ai	П1	П2	П3	min(aij)	max(aij)	y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1	180	210	200	180	210	198
A2	120	200	230	120	230	186
A3	80	180	250	80	250	182
A4	20	160	260	20	260	164

Выбираем из (198; 186; 182; 164) максимальный элемент max=198

Вывод: выбираем стратегию N=1.

Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A₁.

Таким образом, рационально создание сервисного центра по обслуживанию и сопровождению своих изделий при АРМ = 4.