7. Напишите условие параллельности прямой и плоскости. Приведите пример.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a, не лежащая в плоскости  , параллельна некоторой прямой b, которая лежит в плоскости  , то прямая a параллельна плоскости  .

Пусть прямую a в прямоугольной системе координат Oxyz задают канонические уравнения прямой в пространстве вида

   

или параметрические уравнения прямой в пространстве вида

  ,

а плоскости   соответствует общее уравнение плоскости  . Тогда   - направляющий вектор прямой a, а   - нормальный вектор плоскости  . Для перпендикулярности векторов   и   необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение   равнялось нулю (об этом написано в статье условие перпендикулярности двух векторов).

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости   (a не лежит в плоскости  ) примет вид  , где   - направляющий вектор прямой a,   - нормальный вектор плоскости  .

Являются ли прямая   и плоскость   параллельными?

Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой  не удовлетворяют уравнению плоскости:  . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно,   - направляющий вектор прямой  ,   - нормальный вектор плоскости  . Вычислим скалярное произведение векторов   и  :  . Таким образом, векторы   и   перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.

Распечатайте эти вопросы и запишите присланный регистрационный номер в левый верхний угол титульного листа