5. Как вычисляется угол между прямыми в пространстве.? Приведите пример.
Пример 3.
Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 + 02 = √9 + 16 = √25 = 5 |b| = √42 + 42 + 22 = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
Найдем угол между векторами:
cos α = |
a · b |
= |
28 |
= |
14 |
|a| · |b| |
5 · 6 |
15 |
5. Напишите уравнение плоскости. Какой вектор называется нормальным? Приведите пример.
Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида
A x + B y + C z + D = 0
где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки
В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:
Если заданы координаты трех точек A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле
x - x1
y - y1
z - z1
= 0
x2 - x1
y2 - y1
z2 - z1
x3 - x1
y3 - y1
z3 - z1
Если заданы координаты точки A(x1, y1, z1) лежащей на плоскости и вектор нормали n = {A; B; C} то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле
A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0
Нормальный вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на любой прямой перпендикулярной данной.
Найдите
координаты какого-нибудь нормального
вектора прямой 
Так как прямая задана общим уравнением,
то мы сразу можем записать координаты
ее нормального вектора – ими являются
соответствующие коэффициенты перед
переменными x и y. То есть,
нормальный вектор прямой имеет
координаты 
.
6. Как вычисляется угол между плоскостями? Приведите пример.
Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному их нормальными векторами.
Если заданы уравнения плоскостей A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу
cos α = |
|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2| |
√A12 + B12 + C12 √A22 + B22 + C22 |
Найти угол между плоскостями 2x + 4y - 4z - 6 = 0 и 4x + 3y + 9 = 0.
Решение. Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:
cos α = |
|2·4 + 4·3 + (-4)·0| |
= |
|8 + 12| |
= |
20 |
= |
2 |
√22 + 42 + (-4)2√42 + 32 + 02 |
√36√25 |
30 |
3 |
Ответ: косинус угла между плоскостями равен cos α = |
2 |
. |
3 |