3. Как вычисляется угол между прямыми па плоскости? Приведите пример.
Определение.
Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.
Основное соотношение.
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.
Формула вычисления угла между векторами
cos α = |
a·b |
|a|·|b| |
Пример 1.
Найти угол между векторами a = {3; 4} и b = {4; 3}.
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a·b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
|a| = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 |b| = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5
Найдем угол между векторами:
cos α = |
a · b |
= |
24 |
= |
24 |
= 0.96 |
|a| · |b| |
5 · 5 |
25 |
4. Найдите уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
Каноническое уравнение прямой в пространстве
Если известны координаты точки A(x0,y0, z0) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу
x-x0 |
= |
y-y0 |
= |
z-z0 |
l |
m |
n |
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве
Если прямая проходит через две точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), такие что x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 и z1 ≠ z2 то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу
x-x1 |
= |
y-y1 |
= |
z-z1 |
x2 -x1 |
y2 -y1 |
z2 -z1 |
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
x - xa |
= |
y - ya |
= |
z - za |
xb - xa |
yb - ya |
zb - za |
Подставим в формулу координаты точек:
x - 1 |
= |
y - 2 |
= |
z - 3 |
6 - 1 |
5 - 2 |
4 - 3 |
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
x - 1 |
= |
y - 2 |
= |
z - 3 |
5 |
3 |
1 |
Составим параметрическое уравнение прямой
Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:
|
x = l t + x1 |
y = m t + y1 |
|
z = n t + z1 |
где:{l; m; n} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;
x1, y1, z1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.
AB = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = { |
6 |
- |
1 |
; |
5 |
- |
2 |
; |
4 |
- |
3 |
} = { |
5 |
; |
3 |
; |
1 |
} |
В итоге получено параметрическое уравнение прямой:
|
x = 5t + 1 |
y = 3t + 2 |
|
z = t + 3 |