Вы допущены к защите контрольной работе по модулю №2.

Для того чтобы работа была зачтена, Вы должны ответить на следующие вопросы.

1. Напишите формулы скалярного, векторного и смешанного произведений векторов. Приведите пример.

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √ax2 + ay2

скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(aybz - azby) - j(axbz - azbx) + k(axby - aybx)
	ax	ay	az
	bx	by	bz

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}

Пример 1.

 Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

a × b =	i	j	k	=
	1	2	3
	2	1	-2

= i(2 · (-2) - 3 · 1) - j(1 · (-2) - 2 · 3) + k(1 · 1 - 2 · 2) = = i(-4 - 3) - j(-2 - 6) + k(1 - 4) = -7i + 8j - 3k = {-7; 8; -3}

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов. Смешанное произведение векторов a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и c = {cx; cy; cz} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

a · [b × c] =	ax	ay	az
	bx	by	bz
	cx	cy	cz

Пример 1.

 Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

a · [b × с] =	1	2	3	=
	1	1	1
	1	2	1

= 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

2. Напишите различные уравнения прямой на плоскости. Найдите уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), такие что x1 ≠ x2 и y1 ≠ y2 то уравнение прямойможно найти, используя следующую формулу

x - xa	=	y - ya
xb - xa		yb - ya

Пример. Найти уравнение прямой проходящей через две точки A(1, 7) и B(2,3).

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x  - 1	=	y  - 7
2 - 1		3 - 7

Из этого уравнения выразим y через x

x - 1	=	y - 7
1		-4

y - 7 = -4(x - 1)

y = -4x + 11