564. Визначити максимальну зміну довжини хвилі (Δλ)max при комптонівському розсіюванні світла на електронах і вільних протонах.

565. Фотон з довжиною хвилі λ₁ = 15пм розсіявся на вільному електроні. Довжина хвилі розсіяного фотона λ₂ = 16пм. Визначити кут θ розсіювання.

566. В результаті ефекту Комптона фотон з енергією ε₁ = 0,51МеВ був розсіяний на вільному електроні на кут θ = 180º. Визначити кінетичну енергію Т електрона віддачі.

567. В результаті ефекту Комптона фотон з енергією ε₁ = 1,02МеВ розсіяний на вільних електронах на кут θ = 150º. Визначити енергію ε₂ розсіяного фотона.

568. Визначити кут θ, на який був розсіяний квант із енергією ε₁ = 1,53 МеВ в результаті ефекту Комптона, якщо кінетична енергія електрона віддачі Т = 0,51МеВ.

569. Фотон з енергією ε₁ = 0,51МеВ у результаті розсіювання на вільному електроні втратив половину своєї енергії. Визначити кут розсіювання θ.

570. Визначити імпульс р_е електрона віддачі, якщо фотон з енергією ε₁ = 1,53МеВ у результаті розсіювання на вільному електроні втратив 1/3 своєї енергії.

571. Визначити енергетичну освітленість (опромінення) Ee дзеркальної поверхні, якщо тиск р, спричинений випромінюванням, дорівнює 40мкПа. Випромінювання падає нормально до поверхні.

572. Тиск р світла з довжиною хвилі λ = 40нм, що падає нормально на чорну поверхню, дорівнює 2нПа. Визначити число N фотонів, що падають за час t = 10с на площу S = 1мм² цієї поверхні.

573. Визначити коефіцієнт відбиття ρ поверхні, якщо при енергетичній освітленості E_e = 120Вт/м² тиск p світла на неї виявився рівним 0,5мкПа.

574. Тиск світла, призведений на дзеркальну поверхню, р = 5мПа. Визначити концентрацію n₀ фотонів поблизу поверхні, якщо довжина хвилі світла, що падає на поверхню, λ = 0,5мкм.

575. На відстані r = 5м від точкового монохроматичного (λ = 0,5мкм) ізотропного джерела розташована площадка (S = 8мм²) перпендикулярно падаючим пучкам. Визначити число N фотонів, які щосекундно падають на площадку. Потужність випромінювання Р = 100Вт.

576. На дзеркальну поверхню під кутом α = 60º до нормалі падає пучок монохроматичного світла (λ = 590нм). Густина потоку енергії світлового пучка φ = 1кВт/м². Визначити тиск р, що створє світло на дзеркальну поверхню.

577. Світло падає нормально на дзеркальну поверхню, що перебуває на відстані r = 10см від точкового ізотропного випромінювача. При якій потужності Р випромінювача тиск р на дзеркальну поверхню буде дорівнювати 1мПа?

578. Світло з довжиною хвилі λ = 600нм нормально падає на дзеркальну поверхню і створює на неї тиск р = 4мкПа. Визначити число N фотонів, що падають за час t = 10с на площу S = 1мм² цієї поверхні.

579. На дзеркальну поверхню площиною S = 6см² падає нормально потік випромінювання Φ_e = 0,8Вт. Визначити тиск р і силу тиску F світла на цю поверхню.

580. Точкове джерело монохроматичного (λ = 1нм) випромінювання знаходиться в центрі сферичної зачорненої колби радіусом R = 10см. Визначити світловий тиск p на внутрішню поверхню колби, якщо потужність джерела Р = 1кВт.

НАВЧАЛЬНІ МАТЕРІАЛИ З РОЗДІЛУ VІ:

“ЕЛЕМЕНТИ АТОМНОЇ ФІЗИКИ Й КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ.

ФІЗИКА ТВЕРДОГО ТІЛА”

Основні формули

Боровська теорія воднеподібного атома. Момент імпульсу електрона (другий постулат Бору)

, або ,

де m – маса електрона; v_n – швидкість електрона на n-й орбіті; r_n – радіус n-ї стаціонарної орбіти; – стала Планка; n – головне квантове число (n = 1; 2; 3; …).

Радіус n-ї стаціонарної орбіти

,

де a₀ – перший Боровський радіус.

Енергія електрона в атомі водню

,

де E_i – енергія іонізації атома водню.

Енергія, випромінювана або поглинута атомом водню,

,

або

,

де n₁ й n₂ – квантові числа, що відповідають енергетичним рівням, між якими відбувається перехід електрона в атомі.

Спектроскопічне хвильове число

,

де λ – довжина хвилі випромінювання або поглинання атомом; R – стала Рідберга.

Хвильові властивості частинок. Довжина хвилі де Бройля

,

де р – імпульс частинки.

Імпульс частинки і його зв’язок з кінетичною енергією T:

а) ; – нерелятивістська частинка;

б) ; – релятивістська частинка

де m₀ – маса спокою частинки; m – релятивістська маса; v – швидкість части­нки; c – швидкість світла у вакуумі; – енергія спокою частинки.

Співвідношення невизначеностей:

а) (для координати і імпульсу),

де Δp_x – невизначеність проекції імпульсу на вісь X; Δx – невизначеність координати;

б) (для енергії та часу),

де ΔE – невизначеність енергії; Δt – час життя квантової системи в даному енергетичному стані.

Одновимірне рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

,

де Ψ(x) – хвильова функція, що описує стан частинки; m – маса частинки; E – повна енергія; U = U(x) – потенціальна енергія частинки.

Щільність імовірності

,

де dw(x) – імовірність того, що частинка може бути виявлена поблизу точки з координатою x на ділянці dx.

Імовірність виявлення частки в інтервалі від x₁ до x₂

.

Розв’язок рівняння Шредінгера для одновимірного, нескінченно глибокого, прямокутного потенціального ящика:

а) (власна нормована хвильова функція);

б) (властиве значення енергії),

де n – квантове число (n = 1, 2, 3, ...); ℓ – ширина ящика. В області [0 ≤ x ≤ ℓ] → U = ∞ і ψ(x) = 0.

Атомне ядро. Радіоактивність. Масове число ядра (число нуклонів у ядрі)

де Z – зарядове число (число протонів); N – число нейтронів.

Закон радіоактивного розпаду

, або ,

де dN – число ядер, що розпадаються за інтервал часу dt; N – число ядер, що не розпалися до моменту часу t; N₀ – число ядер у початковий момент (t = 0); λ – стала радіоактивного розпаду.

Число ядер, що розпалися за час t,

.

У випадку, якщо інтервал часу Δt, за який визначається число ядер, що розпалися, багато менше періоду піврозпаду T_1/2, то число ядер, які розпалися, можна визначити за формулою

.

Залежність періоду піврозпаду від сталої радіоактивного розпаду

.

Середній час τ життя радіоактивного ядра, тобто інтервал часу, за який число ядер, що не розпалися, зменшується в e разів

.

Число N атомів, що складають радіоактивний ізотоп,

,

де m – маса ізотопу; Μ – молярна маса; N_A – постійна Авогадро.

Активність радіоактивного ізотопу

, або ,

де dN– число ядер, що розпалися за інтервал часу dt; A₀ – активність ізотопу в початковий момент часу.

Питома активність ізотопу

.

Дефект маси ядра

,

де Z – зарядове число (число протонів у ядрі); A – масове число (число нуклонів у ядрі); (A – Z) – число нейтронів у ядрі; m_p – маса протона; m_n – маса нейтрона; m_я – маса ядра.

Енергія зв’язку ядра

,

де Δm – дефект маси ядра; c – швидкість світла у вакуумі.

У несистемних одиницях енергія зв’язку ядра дорівнює E_зв = 931· Δm, де дефект маси Δm – в а. о. м.; 931 - коефіцієнт пропорційності (1 а. о. м. ≈ 931МеВ).

Теплоємність кристала. Середня енергія квантового одновимірного осцилятора

,

де ε₀ – нульова енергія ; – стала Планка; ω – колова частота коливань осцилятора; k – стала Больцмана; T – термодинамічна температура.

Молярна внутрішня енергія системи, що складається з не взаємодіючих квантових осциляторів,

,

де R – молярна газова стала; – характеристична температура Ейнштейна; – молярна нульова енергія (за Ейнштейном).

Молярна теплоємність кристалічного твердого тіла в області низьких температур (граничний закон Дебая)

.

Теплота, яка необхідна для нагрівання тіла,

,

де m – маса тіла; Μ – молярна маса; T₁ і T₂ – початкова й кінцева температури тіла.

Елементи квантової статистики. Розподіл вільних електронів у металі за енергіями при 0К

,

де dn(ε) – концентрація електронів, енергія яких визначається в межах від ε до (ε + dε); m – маса електрона. Цей вираз справедливий для ε < ε_F (де ε_F – енергія або рівень Фермі).

Енергія Фермі в металі при T = 0K

,

де n – концентрація електронів у металі.

Питома провідність власних напівпровідників

,

де ΔE – ширина забороненої зони; γ₀ – константа.

Сила струму в p – n - переході

,

де I₀ – граничне значення сили зворотного струму; U – зовнішня напруга, прикладена до p – n - переходу.

Контактні й термодинамічні явища. Внутрішня контактна різниця потенціалів

,

де ε_F1 і ε_F2 – енергія Фермі відповідно для першого і другого металів; e – заряд електрона.

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1. Електрон в атомі водню перейшов із четвертого енергетичного рівня на другий. Визначити енергію випроміненого при цьому фотона.

Розв’язок. Для визначення енергії фотона скористаємося серіальною формулою для водне подібних іонів:

, (1)

де λ – довжина хвилі фотона; R – стала Рідберга; Z – заряд ядра у відносних одиницях (при Z = 1 формула переходить у серіальну формулу для водню); n₁ – номер орбіти, на яку перейшов електрон; n₂ – номер орбіти, з якої перейшов електрон (n₁ і n₂ – головні квантові числа).

Енергія фотона ε виражається формулою

.

Тому, помноживши обидві частини рівняння (1) на hc, одержимо вираз для енергії фотона:

.

Тому що Rhc є енергія іонізації E_i атома водню, то

.

Обчислення виконаємо у несистемних одиницях: E_i = 13,6еВ (див. табл. 1 Додатка); Z = 1; n₁ = 2; n₂ = 4

.

Приклад 2. Електрон, початковою швидкістю якого можна зневажити, пройшов прискорювальну різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля електрону для двох випадків: 1) U₁ = 51В; 2) U₂ = 510кВ.

Розв’язок. Довжина хвилі де Бройля для частинки залежить від її імпуль­су p й визначається формулою

, (1)

де – стала Планка.

Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія T. Зв’язок імпульсу з кінетичною енергією різний для нерелятивістського випадку (коли кінетична енергія частики багато менше її енергії спокою) і для релятивістського випадку (коли кінетична енергія порівнянна з енергією спокою частинки).

У нерелятивістському випадку

, (2)

де m₀ – маса спокою частинки.

У релятивістському випадку

, (3)

где E₀ = m₀ · c² – енергія спокою частинки.

Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться:

• у нерелятивістському випадку

, (4)

• у релятивістському випадку

. (5)

Зрівняємо кінетичні енергії електрона, що пройшов задані в умові завдання різниці потенціалів U₁ = 51В и U₂ = 510кВ, з енергією спокою електрону й залежно від цього вирішимо, яку з формул (4) або (5) слід застосувати для обчислення довжини хвилі де Бройля.

Як відомо, кінетична енергія електрона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів U,

У першому випадку T₁ = e · U₁ = 51еВ = 0,51 · 10 ^{– 4}МеВ, що багато менше енергії спокою електрону E₀ = m₀ · c²МеВ. Отже, у цьому випадку можна застосувати формулу (4). Для спрощення розрахунків зауважимо, що T₁ = 10^{– 4}·m₀·c². Підставивши це значення у формулу (4), перепишемо її у вигляді

.

З огляду на те, що є комптонівська довжина хвилі Λ, одержуємо

.

Зауважимо, що Λ = 2,43пм (див. табл. 1 Додатка). Значить

.

У другому випадку кінетична енергія T₂ = e·U₂ = 510кеВ = 0,51МеВ, тобто дорівнює енергії спокою електрону. У цьому випадку необхідно застосувати релятивістську формулу (5). З огляду на те, що T₂ = 0,51МеВ = m₀·c², за формулою (5) знаходимо

.

або

.

Підставимо значення Λ і виконаємо обчислення:

.

Приклад 3. Кінетична енергія електрона в атомі водню має величину порядку T = 10эВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.

Розв’язок. Співвідношення невизначеностей для координати й імпульсу має вигляд

, (1)

де Δx – невизначеність координати частинки (у цьому випадку електрона); Δp_x – невизначеність імпульсу частинки (електрона); – стала Планка.

З відношення невизначеностей витікає, що чим точніше визначається положення частинки в просторі, тим більше невизначеним стає імпульс, а отже, і енергія частинки. Нехай атом має лінійні розміри ℓ, тоді електрон атома буде перебувати десь у межах області з невизначеністю

.

Співвідношення невизначеностей (1) можна записати в цьому випадку у вигляді

,

звідки

.

Фізично розумна невизначеність імпульсу Δp_x у всякому разі не повинна перевищувати значення самого імпульсу p_x, тобто Δp_x ≤ p_x. Імпульс Δp_x пов’язаний з кінетичною енергією Т співвідношенням . Замінимо Δp_x значенням (така заміна не збільшить ℓ). Переходячи від нерів­ності до рівності, одержимо

. (3)

Перевіримо, чи дає отримана формула одиницю довжини. Для цього в праву частину формули (3) замість символів величин підставимо позначення їхніх одиниць:

.

Знайдена одиниця є одиницею довжини. Виконаємо обчислення:

.

Приклад 4. Хвильова функція описує основний стан частинки в нескінченно глибокому прямокутному ящику шириною ℓ. Обчислити ймовірність знаходження частинки в малому інтервалі Δℓ = 0,01ℓ у двох випадках: 1) (поблизу стінки) (0 ≤ x ≤ ℓ); 2) у середній частині ящика .

Розв’язок. Імовірність того, що частинка буде виявлена в інтервалі dx (від x до x + dx), пропорційна цьому інтервалу й квадрату модуля хвильової функції, що описує даний стан, дорівнює

.

У першому випадку шукана ймовірність знайдеться інтегруванням у ме­жах від 0 до 0,01ℓ (рис. 1):

. (1)

Знак модуля опущений, тому що ψ - функція в цьому випадку не є комплексною.

Рис. 1

Тому що x змінюється в інтервалі 0 ≤ x ≤ 0,01ℓ і, отже, , справедлива наближене рівняння

З урахуванням цього виразу (1) приймає вигляд

.

Після інтегрування одержимо

.

У другому випадку можна обійтися без інтегрування, тому що квадрат модуля хвильової функції поблизу її максимуму в заданому малому інтервалі (Δℓ = 0,01ℓ) практично не змінюється. Шукана ймовірність у другому випадку визначається виразом

.

або

.

Приклад 5. Обчислити дефект маси й енергію зв'язку ядра .

Розв’язок. Маса ядра завжди менше суми мас вільних (що знаходяться поза ядром) протонів і нейтронів, з яких ядро утворилося. Дефект маси ядра Δm і є різниця між сумою мас вільних нуклонів (протонів і нейтронів) і масою ядра, тобто

. (1)

де Z – атомний номер (число протонів у ядрі); A – масове число (число нуклонів, що становлять ядро); m_p, m_n, m_я – відповідно маси протона, нейтрона і ядра.

У довідкових таблицях завжди даються маси нейтральних атомів, але не ядер, тому формулу (1) доцільно перетворити так, щоб до неї входила маса m_я нейтрального атома. Можна вважати, що маса нейтрального атома дорівнює сумі мас ядра й електронів, що становлять електронну оболонку атома: m_a = m_я + Zm_e, звідки

. (2)

Виразивши в рівності (1) масу ядра по формулі (2), одержуємо Δm = Z·m_p + (A – Z)·m_n – m_a + Z·m_e, або

.

Зауважуючи на те, що , де – маса атома водню, остаточно знаходимо

. (3)

Підставивши у вираз (3) числові значення мас (див. табл. 2 і 3 Додатка), одержимо

Δm = [3 · 1,00783 + (7 – 3) · 1,00867 – 7 · 0.1601]а.o.м. = 0,04216а.o.м.

Відповідно до закону пропорційності маси й енергії

E = c ² · Δm, (4)

де c – швидкість світла у вакуумі.

Коефіцієнт пропорційності c ² може бути виражений подвійно:

c ² = 9 · 10¹⁶м²/с², або c ² = ΔE/Δm = 9 · 10¹⁶Дж/кг.

Якщо обчислити енергію зв’язку, користуючись несистемними одиницями, то . З урахуванням цього формула (4) приймає вигляд

. (5)

Підставивши знайдене значення дефекту маси ядра у формулу (5), одержимо

.

Примітка. Термін “дефект маси” часто застосовують в іншому смислі: дефектом маси Δ називають різницю між масою нейтрального атома даного ізотопу і його масовим числом A: Δ = m_a – A. Ця величина особливого фізичного смислу не має, але її використання дозволяє в ряді випадків значно спростити обчислення. У даному посібнику всюди мається на увазі дефект маси Δm, що визначається формулою (1).

Приклад 6. При зіткненні α - частинки з ядром бору відбулася ядерна реакція, у результаті якої утворилося два нових ядра. Одним із цих ядер було ядро атома водню . Визначити порядковий номер і масове число другого ядра, дати символічний запис ядерної реакції й визначити її енергетичний ефект.

Розв’язок. Позначимо невідоме ядро символом . α - частинка являє собою ядро гелію , тому запис реакції має вигляд

.

Застосувавши закон збереження числа нуклонів, одержимо рівняння 4 + 10 = 1 + А, звідки А = 13. Отже невідоме, ядро є ядром атома ізотопу вуглецю .

Тепер можемо записати реакцію в остаточному вигляді:

.

Енергетичний ефект Q ядерної реакції визначається за формулою

.

Тут у перших круглих дужках зазначені маси вихідних ядер, у других дужках – маси ядер – продуктів реакції. При числових підрахунках цією формулою маси ядер заміняють масами нейтральних атомів. Можливість такої заміни випливає з наступних міркувань.

Число електронів в електронній оболонці нейтрального атома дорівнює його зарядовому числу Z. Сума зарядових чисел вихідних ядер дорівнює сумі зарядових чисел ядер – продуктів реакції. Отже, електронні оболонки ядер гелію й бору містять разом стільки ж елеронів, скільки їх містять електронні оболонки ядер вуглецю й водню.

Очевидно, що при відніманні суми мас нейтральних атомів вуглецю і водню із суми мас атомів гелію й бору маси електронів випадуть і ми одержимо той же результат, як якби брали маси ядер. Підставивши маси атомів (див. табл. 2 Додатка) у розрахункову формулу, одержимо

.

Приклад 7. Визначити початкову активність А₀ радіоактивного препарату магнію масою m = 0,2мкг, а також його активність А через час t = 6годин. Період напіврозпаду магнію вважати відомим.

Розв’язок. Активність A ізотопу характеризує швидкість радіоактивного розпаду й визначається відношенням числа dN ядер, що розпалися за інтервал часу dt, до цього інтервалу:

. (1)

Знак “–” показує, що число N радіоактивних ядер із часом убуває.

Для того щоб знайти , скористаємося законом радіоактивного розпаду:

. (2)

де N – число радіоактивних ядер, що містяться в ізотопі, у момент часу t; N₀ – число радіоактивних ядер у момент часу, прийнятий за початковий (t = 0); λ – постійна радіоактивного розпаду.

Продиференціруємо вираз (2) за часом:

. (3)

Виключивши з формули (1) і (3) , знаходимо активність препарату в момент часу t:

. (4)

Початкову активність A₀ препарату одержимо при t = 0:

. (5)

Стала радіоактивного розпаду λ пов’язана з періодом напіврозпаду співвідношенням

. (6)

Число N₀ радіоактивних ядер, що містяться в ізотопі, дорівнює добутку сталої Авогадро N_А на кількість речовини ν даного ізотопу:

. (7)

де m – маса ізотопу; Μ – молярна маса.

З урахуванням виразів (6) і (7) формули (5) і (4) набувають вигляду

; (8)

. (9)

Виконаємо обчислення, врахувавши на, що Т_1/2 = 10хв = 600с (див. табл. 3 Додатка), ln2 = 0,693; t = 6г = 6 · 3,6 · 10³с = 2,16 · 10⁴с:

,

.

Приклад 8. Використовуючи квантову теорію теплоємності Ейнштейна, вичислити питому теплоємність c при сталому об’ємі алюмінію при температурі T = 200К. Характеристичну температуру Θ_E Ейнштейна прийняти для алюмінію рівною 300К.

Розв’язок. Питома теплоємність c речовини може бути виражена через молярну теплоємність C_m співвідношенням

, (1)

де Μ – молярна маса.

Молярна теплоємність при сталому об’ємі за теорією Ейнштейна виражається формулою

. (2)

Підставимо в (1) вираз для теплоємності за формулою (2), одержимо

. (3)

Виконаємо обчислення:

.

Приклад 9. Визначити теплоту ΔQ, необхідну для нагрівання кристала NaCl масою m = 20г від температури T₁ = 2К до температури T₂ = 4К. Характеристичну температуру Дебая Θ_D для NaCl прийняти рівною 320К і умову вважати виконаною.

Розв’язок. Теплота ΔQ, що підводиться для нагрівання тіла від температури T₁ до T₂, може бути обчислена за формулою

, (1)

де C_T – теплоємність тіла.

Теплоємність тіла пов’язана з молярною теплоємністю співвідношенням

, (2)

де m – маса тіла; Μ – молярна маса.

Підставивши вираз для C_T у формулу (1), одержимо

. (3)

У загальному випадку теплоємність C_m є складна функція температури, тому виносити її за знак інтеграла не можна. Однак якщо виконано умова , то знаходження ΔQ полегшується тим, що можна скористатися граничним законом Дебая, згідно з яким теплоємність пропорційна кубу термодинамічної температури:

. (4)

Підставляючи молярну теплоємність (4) у формулу (3), одержимо

.

Виконаємо інтегрування:

.

Переписавши отриману формулу у вигляді

.

Виконаємо обчислення:

.

Приклад 10. Обчислити максимальну енергію ε_F (енергію Фермі), яку можуть мати вільні електрони в металі (мідь) при температурі T = 0К. Прийняти, що на кожний атом міді доводитися по одному валентному електрону.

Розв’язок. Максимальна енергія ε_F, що можуть мати електрони в металі при T = 0К, пов’язана з концентрацією вільних електронів співвідношенням

. (1)

де –стала Планка; m – маса електрона.

Концентрація вільних електронів за умовою завдання дорівнює концентрації атомів, яка може бути знайдена за формулою

, (2)

де ρ – густина міді; N_A – стала Авогадро; Μ – молярна маса.

Підставляючи вираз для n у формулу (1) одержуємо

.

Виконаємо обчислення:

.

Приклад 11. Кремнієвий зразок нагрівають від температури t₁ = 0ºC до температури t₂ = 10ºC. У скільки разів зростає його питома провідність?

Розв’язок. Питома провідність γ власних напівпровідників пов’язана з температурою T співвідношенням

,

де ν₀ – константа; ΔE – ширина забороненої зони. Отже,

.

Припускаючи для кремнію ΔЕ = 1,1еВ, виконаємо обчислення:

.

Контрольна робота 6

Таблиця варіантів для спеціальностей, навчальними планами яких передбачені за курсом фізики шість контрольних робіт

Варіант	Номера задач
0	601	611	621	631	641	651	661	671
1	602	612	622	632	642	652	662	672
2	603	613	623	633	643	653	663	673
3	604	614	624	634	644	654	664	674
4	605	615	625	635	645	655	665	675
5	606	616	626	636		656	666	676
6	607	617	627	637	647	657	667	677
7	608	618	628	638	648	658	668	678
8	609	619	629	639	649	659	669	679
9	610	620	630	640	650	660	670	680

601. Незбуджений атом водню поглинає квант випромінювання з довжиною хвилі λ = 102,6нм. Обчислити, користуючись теорією Бору, радіус r електронної орбіти збудженого атома водню.