5. Дипольный эквивалентный генератор

5.1 Потенциал точки поля диполя.

Согласно уравнения (1) потенциал поля, создаваемого диполем, определяется выражением

Найдем более под­робный вид этого выражения, исходя из того, что диполь состоит из двух точечных зарядов. В среде с диэлектрической проницаемостью Е потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на рас­стоянии r определяется по формуле:

( 3)

В некоторой точке А, удаленной от зарядов соответственно на расстоянии r и r₁ ( рис.3) потенциалы зарядов будут складываться. Применяя к каждому заряду формулу (3) с учетом знаков зарядов и приводя слагаемые к общему знаменателю, получим потенциал диполя в целом.

(4)

Учитывая, что L<<r и L<<r₁ можем приближенно считать, что r=r₁, r*r₁=r² и r-r₁=L*Cos α. Подставим эти результаты в формулу (4) и с учетом формулы (2) получим:

( 5)

Таким образом, потенциал поля диполя в некоторой точке А прямо пропорционален моменту диполя Р и зависит от угла α между вектором Р и направлением от диполя на точку А. Кроме того потенциал зависит от расстояния ( ) и свойств среды ε.

5.2 Разность потенциалов двух точек поля диполя.

Пусть диполь, плечо которого мало (L→0) находится в точке 0 (рис.4).

Вектор Р – электрический момент диполя. α_А - - угол между диполем и направлением на точку А. α_в – угол между диполем и направлением на точку В, r – расстояние от диполя до точек А и В. Используя формулу (5), определим разность потенциалов, создаваемую диполем в точках А и В.

(6)

Обозначим угол между вектором Р и направлением АВ

РОС=α, AOB = ß.

Учитывая эти равенства, выразим α_в=α+

Тогда

Cos (α_в) – Соs(α_A) =-2Sin((α_B+α_A)/2)*Sin((α_B-α_A)/2)=

-2Sin(α+π/2)*Sin(-ß/2)=2Sin(ß/2)*Cos(α).

Подставляя эту формулу в выражение (6), получим:

U_AB= φ_B-φ_A= (7)

Таким образом, создаваемая диполем разность потенциалов двух точек прямо пропорциональна проекции электрического момента диполя, РСоsα на прямую, проходящую через точки А и В. Кроме того она зависит от свойств среды (ε), расстояния этих точек от диполя (~ ) и от угла, под которым эти точки видны от диполя (~Sin ß/2).

Все эти зависимости будут использованы при введении понятия треугольника Эйнтховена( раздел 6.3)

5.З. Токовый диполь

В организме сердце окружено другими органами и тканями, которые обладают некоторой электропроводностью. Поэтому, сог­ласно принципу анатомо-физиологического соответствия, эквива­лентный электрический генератор сердца следует считать расположенным в токопроводящей среде.

Будучи помещенным в токопроводящую среду, заряд становится источником тока (рис 5) и через окружающую унидиполь сферу произвольного радиуса r будет протекать выходящий из него ток I. Потенциал, создаваемый униполем как генератором тока, определяется по формуле

(8)

где ρ – удельное сопротивление среды.

Из сравнения формул (8) и (3) видно, что для токового униполя существует такой же характер зависимости потенциала от расстояния, как и для токового заряда в диэлектрической среде

Это значит, что повторив рассуждения, проделанные нами при выводе формул (5)-(7), мы и для токового диполя получим формулы с аналогичными зависимостями от углов и расстояний. Однако, влияние сопротивления проводящей среды надо рассматривать отдельно.

Эквивалентная схема токового генератора во внешней проводящей среде представлена на рис.6. Здесь R_c - cопротивление внешней среды, R – внутреннее сопротивление токового генератора, Е – э.д.с. генератора, I – сила тока в цепи.

По закону Ома для полной цепи сила суммарного тока в среде равна силе тока в генераторе и вычисляется по формуле:

Так как сопротивление мембран, на которых фактически генерируется разность потенциалов, во много раз больше сопротивления межклеточной жидкости( R>>R_c), то сопротивлением R_c можно пренебречь

Это значит, что сила тока в данной среде не зависит от сопротивления внешней среды, поэтому неоднородностями сопротивления окружающей среды можно пренебречь и считать, что оно расположено в однородной токопроводящей среде.