Язык описания машиностроительной делали

Язык описания машиностроительной детали методами математической логики обладает достаточной универсальностью и широко используется при трехмерном геометрическом моделировании. Универсальность языка описания состоит в том, что он позволяет выявить все геометрические свойства делали (поверхности, плоскости, оси вращения и др.), необходимые при проектировании технологического процесса, Другая особенность языка состоит в том, что его примитивы совпадают с объектами обработки ТП (технологических процессов).

Геометрическая модель детали может быть представлена в виде:

_(6.1)

где М – множество поверхностей, ограничивающих рассматриваемую деталь;

R – множество отношений на М.

Эти отношения можно разбить на две группы:

- унарные отношении R, каждое из которых определяет свойство поверхностей (геометрические параметры и параметры расположения);

- бинарные отношения, которые образуются с помощью логических операций & ( ) – и, ( ) – или, - не.

Первая составляющая описания – логическая, относится к условиям взаимодействия полупространств, с помощью которых осуществляется «конструирование» делали.

Вторая составляющая – алгебраическая относится к механизму построения полупространств с помощью поверхностей базового множества.

Описание плоской детали

Пусть задана плоская деталь квадратной формы. Для простоты положим, что сторона квадрата 1. Построить ее МО (математическое описание).

Базовое множество М геометрической модели содержит ограничивающие прямые , уравнения которых имеют вид:

(6.2)

Рисунок 6.1 Выпуклая плоская деталь

Эти прямые порождают полуплоскости, которые получаются из (2), если равенства заменить цепочкой неравенств

В дальнейшем полупространства будем обозначать через . В нашем случае под деталью D будем понимать геометрическое место точек, которые удовлетворять условиям (2). Слово «одновременно» эквивалентно использованию связки или & над указанными условиями:

(6.3)

Отношения (2) и (3) являются логико-алгебраическим представлением детали D. К ним необходимо добавить условие выпуклости. Множество точек детали D обладает свойством выпуклости , если для любой пары точек все внутренние точки соединяющего их отрезка также принадлежат :

.

Рассмотрим математическое описание квадратной детали без четверти (рисунок 2).

Рисунок 6.2 Невыпуклая плоская деталь

Базовое множество М должно содержать еще два ограничения

(6.4)

Рисунок 6.3

МО (математическое описание) детали D можно построить различными способами используя логические операции - (конъюнкции, дизъюнкции и отрицания):

(6.4)

где

Перечисленные формы (4) представления детали D эквивалентны в том смысле, что все они содержат одно и тоже геометрическое место точек на плоскости.

Проверим, что любая точка , например,

обеспечивает следующие значения для условий при этом , поэтому функция D(A) принимает значения

= т.е. .

Любую из формул алгебры логики можно преобразовать, используя преобразования формул математической логики. Например, преобразование первой формулы (4) во вторую:

. (6.5)

Это преобразование использует соотношения:

При этих преобразованиях учитывалось, что

. (6.6)