Верхняя и нижняя границы множества

Имея дело со множеством действительных чисел, можно сравнивать элементы этого множества по их значению и, в частности находить их наибольшее и наименьшее элементы этого множества. Для конечных множеств, заданных перечислением, эта задача не представляет труда. Например, для множества

Если множество задано описательным способом, например, указано лишь правило вычисления числовых значений его элементов, то задача определения наибольшего и наименьшего элементов становится весьма трудоемкой. Несколько более легкой задачей является нахождение области, внутри которого лежат все элементы множества. При решении этой задачи очень полезными оказываются понятия верхней и нижней границ множества.

S- множество вещественных чисел. Верхней границей S является число С такое, что для имеет место . Точной верхней границей или супермумом множества S, обозначаемой sup S, называют верхнюю границу, которая не превосходит любую другу верхнюю границу. Множество может иметь только одну верхнюю границу.

Нижней границей множества S является число с такое, что имеет место . Точной нижней границей или инфинумом множества S, обозначаемой inf S, называют нижнюю границу, не меньшую любой другой нижней границы.

Теорема. Если , то

. (2.3)

Операции над множествами

Над множествами можно производить действия, которые во многом напоминают действия сложения и умножения в обычной алгебре. Напомним свойства этих действий.

Пусть a и b некоторые числа. Сумма и произведение этих чисел обладают следующими свойствами:

коммутативный или переместительный закон;
ассоциативный или сочетательный закон;
дистрибутативный или распределительный закон.

В коммутативном и ассоциативном законах можно действие сложения заменить действием умножения и наоборот, при этом получим другие законы, которые также справедливы как и первые. Но в дистрибутативном законе такая замена приводит к неверному результату:

В отличии от обычной алгебры, в алгебре множеств все три закона симметричны относительно операций сложения и умножения.

Объединение множеств

Объединением множеств X и Y называют множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств X,Y,тол есть принадлежат множеству Х или множеству Y.