Обратный ход метода Гаусса

Первый шаг

Обнуляем элементы третьего столбца (над третьей строкой), используя третью строку:

Перед переходом к второму шагу, разделим вторую строку на 4:

Второй шаг

Обнуляем элемент второго столбца (над второй строкой), используя вторую строку:

Итак, вспоминая, что четвертый столбец соответствует переменной x4, а пятый столбец – переменной x5, несложно записать ответ:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1=−2511x4+2711x5−3511;x2=1011x4−1311x5+311;x3=1511x4−2511x4+7611;x4∈R;x5∈R.

Полное решение без пояснений выглядит так:

Ответ: ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1=−2511x4+2711x5−3511;x2=1011x4−1311x5+311;x3=1511x4−2511x4+7611;x4∈R;x5∈R..

Пример №6

Исследовать на совместность СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪x1−5x2−x3−2x4=0;2x1−6x2+x3−4x4=0;−x1+4x2+5x3−3x4=0.. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса.

Решение

Расширенная матрица системы имеет вид: A˜=⎛⎝⎜⎜12−1−5−64−115−2−4−3000⎞⎠⎟⎟.

Прямой ход метода Гаусса

Итак, ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше, нежели количество неизвестных, т.е. rangA˜=rangA=3<4. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, данная система является неопределённой (т.е. имеет бесконечное количество решений).

Переносим столбец, соответствующий свободной переменной x4, за черту и продолжаем решение методом Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

При использовании метода Гаусса могут возникнуть некоторые вопросы, на кои попробуем заранее дать ответ.

Вопрос №1

Что делать, если нужный для обнуления элемент сам равен нулю? Например, когда я решал систему ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1+2x2−x3+3x4+4x5=−3;x1+2x2−5x3+8x4+11x5=−10;−2x1−9x2+12x3+6x4−12x5=27;3x1+6x2+9x4+14x5=−18;2x1+14x2+2x4+13x5=−21., то первым делом обнулил элементы первого столбца, используя первую строку:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜11−23222−9614−1−5120038692411−121413−3−1027−18−21⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟II+2IIII+2IIV−3IIIV−2I→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020−5010−1−4103235120−447−425−3−721−9−15⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Теперь нужно обнулять элементы второго столбца (расположенные под второй строкой), используя вторую строку. Но второй элемент второй строки равен нулю! Как же её использовать?

Ответ

Ответ тут довольно прост. Вам мешает ноль во второй строке? Поменяйте местами строки. Первую строку трогать нельзя, ибо её уже использовали на первом шаге. Поменяем местами, например, вторую и третью. Тогда матрица станет такой:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020−5010−1−4103235120−447−425−3−721−9−15⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜100002−50010−110−43231250−44−4725−321−7−9−15⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Теперь можно продолжать стандартные преобразования метода Гаусса.

Вопрос №2

Что делать, если нужный мне для обнуления элемент равен нулю, но смена мест строк ничего не даёт, ибо все элементы обрабатываемого столбца, расположенные ниже, тоже равны нулю? Например, когда я решал систему ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1+2x2−x3+3x4+4x5=−3;x1+2x2−4x3+5x4+7x5=−5;x1+2x2+10x3+12x4−4x5=28;x1+2x2+2x5=−4;x1+2x2+2x3−4x4+5x5=−23., то первым делом обнулил соответствующие элементы первого столбца, используя первую строку:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1111122222−1−4100235120−447−425−3−528−4−23⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟II−IIII−IIV−IV−I→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−1−31113329−3−743−8−21−3−231−1−20⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Теперь нужно обнулять элементы второго столбца (расположенные под второй строкой), используя вторую строку. Но второй элемент второй строки равен нулю! И менять местами строки бессмысленно, ибо первую строку трогать нельзя (я уже её использовал на первом шаге), а все остальные строки тоже начинаются с двух нулей.

Ответ

В этой ситуации нет ничего страшного. Просто переходите к следующему столбцу и всё. Т.е. теперь нужно обнулить элементы третьего столбца, расположенные под второй строкой. Перед тем, как это делать, желательно поменять местами вторую и четвёртую строки, ибо с единицей будет попроще работать:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−1111−333−392−74−2−831−3−131−2−20⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟III−11⋅IIIV+3IIV−3II→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−110003−342−724−214−37−3−142−5−17⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟III:14→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−110003−33−724−21−37−3−13−5−17⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟3IV+7III3V−2III→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−110003−33004−21−219−3−136−57⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟IV:(−2)V:19→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−110003−33004−2111−3−13−3−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟V−IV→⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1000020000−110003−33004−2110−3−13−30⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Прямой ход метода Гаусса завершён. Нулевую строку убираем и приступаем к выполнению обратного хода метода Гаусса:

⎛⎝⎜⎜⎜⎜10002000−11003−3304−211−3−13−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟I−4IVII+2IVIII−IV→⎛⎝⎜⎜⎜⎜10002000−11003−33000019−76−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟III:3→⎛⎝⎜⎜⎜⎜10002000−11003−31000019−72−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟I−3IIIII+3III→⎛⎝⎜⎜⎜⎜10002000−1100001000013−12−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟I+II→→⎛⎝⎜⎜⎜⎜100020000100001000012−12−3⎞⎠⎟⎟⎟⎟.

Перейдём от полученной матрицы к системе:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1+2x2=2;x3=−1;x4=2;x5=−3.

Теперь можно записать ответ: