Пример №4

Решить СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1−x2+2x3=−1;−x1+2x2−3x3=3;2x1−3x2+5x3=−43x1−2x2+5x3=1;2x1−x2+3x3=2. методом Гаусса.

Решение

Расширенная матрица системы: A˜=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜1−1232−12−3−2−12−3553−13−412⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Прямой ход метода Гаусса

Итак, ранг матрицы системы равен двум. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, т.е. rangA˜≠rangA, поэтому согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (не имеет решений).

Этот же вывод можно получить, записав третью строку полученной матрицы в виде уравнения: 0⋅x1+0⋅x2+0⋅x3=2, откуда имеем 0=2. Полученное противоречие указывает на отсутствие решений.

Ответ: система несовместна (не имеет решений).

Пример №5

Исследовать СЛАУ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x1+7x3−5x4+11x5=42;x1−2x2+3x3+2x5=17;−3x1+9x2−11x3−7x5=−64;−5x1+17x2−16x3−5x4−4x5=−90;7x1−17x2+23x3+15x5=132. на совместность. В случае совместности системы найти ее решение методом Гаусса.

Решение

Расширенная матрица системы имеет вид: A˜=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜21−3−570−2917−1773−11−1623−500−50112−7−4154217−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟. Поменяем местами первую и вторую строки данной матрицы, чтобы первым элементом первой строки стала единица: ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜12−3−57−20917−1737−11−16230−50−50211−7−4151742−64−90132⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

Обнуляем элементы первого столбца (под первой строкой), используя первую строку:

Второй шаг

Обнуляем элементы второго столбца (под второй строкой), используя вторую строку:

Третий шаг

Обнуляем элементы третьего столбца (под третьей строкой), используя третью строку:

Мы привели расширенную матрицу системы к трапециевидной форме. Ранг расширенной матрицы системы равен трем, ранг матрицы системы также равен трем. Так как система содержит 5 неизвестных, т.е. rangA˜=rangA=3<5, то согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли данная система является совместной и неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений. Подробно о решении таких систем можно почитать в теме "Общее и базисное решения СЛАУ". Очень советую в упомянутой теме хотя бы бегло глянуть на картинки с "ступеньками", – тогда вам будет ясен способ выбора базисных переменных, который будет использован далее.

Убирая нулевые строки, получаем такую матрицу: ⎛⎝⎜⎜100−24031−110−51527−25178−76⎞⎠⎟⎟. Чтобы найти решения данной СЛАУ, можно перейти от матрицы ⎛⎝⎜⎜100−24031−110−51527−25178−76⎞⎠⎟⎟ к системе:

⎧⎩⎨⎪⎪x1−2x2+3x3+2x5=17;4x2+x3−5x4+7x5=8;−11x3+15x4−25x5=−76.

Затем нужно выразить одни переменные через другие, получив общее решение данной СЛАУ. Мне кажется более удобным продолжить решение в матричной форме записи. У нас есть три независимых уравнения, содержащие пять неизвестных. В этом случае три переменные (x1, x2, x3 – базисные переменные) оставим в левой части равенств, а две переменные (x4, x5 – свободные переменные) перенесем в правые части уравнений:

⎧⎩⎨⎪⎪x1−2x2+3x3=−2x5+17;4x2+x3=5x4−7x5+8;−11x3=−15x4+25x5−76.

Для матрицы ⎛⎝⎜⎜100−24031−110−51527−25178−76⎞⎠⎟⎟ это будет означать перенос за черту четвертого и пятого столбцов (знаки переносимых элементов при этом меняются на противоположные):

⎛⎝⎜⎜100−24031−1105−15−2−725−178−76⎞⎠⎟⎟

Перед началом обратного хода метода Гаусса, разделим обе части третьего уравнения на (−11):