Тема 5. Прямой поперечный изгиб

Литература: [1, гл. 7], [2, гл. 3 и 10].

Определение прямого поперечного изгиба. Поперечная сила и изгибающий момент, их эпюры. Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями и интенсивностью нагрузки.

Нормальные напряжения при чистом изгибе. Нормальные и касательные напряжения при поперечном изгибе. Центр изгиба тонкостенных поперечных сечений. Условия прочности и рациональные формы сечений балок.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балок и его интегрирование для определения перемещений. Метод начальных параметров для перемещений. Условие жёсткости балок.

Потенциальная энергия упругой деформации при изгибе балок. Теорема Кастилиано, метод Мора и правило Верещагина для определения перемещений в балках. Коэффициенты жёсткости и податливости.

• Указание к изучению. Эта тема является самой большой и самой сложной темой курса.

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Балки могут иметь различные поперечные сечения. Внешняя нагрузка может быть задана в виде сосредоточенных сил, распределённой нагрузки и в виде пары сил (это сосредоточенные моменты). Если нагрузка действует в одной из двух главных плоскостей инерции сечения балки, то происходит её изгибание, которое называют плоским (или прямым) изгибом. Очевидно, что плоскость, в которой действует нагрузка (называется она силовой плоскостью), перпендикулярна поперечному сечению, а силовая линия в сечении лежит на одной из двух главных осей инерции сечения.

При плоском изгибе в поперечных сечениях возникают только поперечные силы и изгибающие моменты , – это внутренние усилия при изгибе. Их значения вычисляют методом сечений. Необходимо помнить, что поперечная сила в данном сечении равна алгебраической сумме проекций сил, расположенных только по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент в данном сечении равен алгебраической сумме моментов сил, расположенных только с одной стороны от сечения, относительно центральной оси поперечного сечения. Следует отметить, что можно учитывать как только одни правые, так и только одни левые силы в зависимости от того, с какой стороны проще получить выражения и .

Если в поперечных сечениях возникают только изгибающие моменты, то изгиб называют чистым. Если изгибающий момент и поперечная сила не равны нулю, то такой изгиб считается поперечным.

Надо помнить, что при плоском чистом изгибе в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения, а при прямом поперечном изгибе кроме нормальных появляются еще касательные напряжения, которые существенно влияют на прочность балки в том случае, если (это короткие балки), где – длина балки, – поперечный размер балки в направлении силовой оси сечения. Если указанное соотношение не выполняется, то влияние касательных напряжений на прочность балки примерно на порядок меньше влияния нормальных напряжений. С учётом значений запасов прочности, применяемых при расчётах, таким влиянием можно пренебречь.

При изучении закономерности распределения нормальных напряжений необходимо обратить внимание на их неравномерность в направлении силовой линии сечения. С учетом этого целесообразно найти путь снижения расхода материала балки при одинаковой ее прочности принятием более рациональной формы: вытянуть сечение вдоль силовой линии, запроектировать соответствующее отверстие, использовать форму двутавра и др.

Следует обратить внимание на то, что в формуле для определения касательных напряжений используют статический момент части площади, лежащей выше или ниже линии, параллельной центральной оси и проходящий через точку, в которой определяется напряжение, а момент инерции относительно центральной оси вычисляют для всего сечения.

Перемещения в балке определяют с помощью универсального метода интегрирования дифференциального уравнения упругой линии (изогнутой оси балки), который известен как метод начальных параметров. Общий вид универсального уравнения изогнутой оси бруса имеет вид

,

где и – прогиб и угол поворота сечения соответственно в начале системы координат, обычно размещаемом на конце балки; , – расстояния от начала системы координат до сечений балки, в которых расположены соответственно внешние пары сил и сосредоточенные силы; – расстояние от начала системы координат до сечения балки, в котором начинается равномерно распределённая нагрузка при движении от начала системы координат в сторону сечения.