Задача 10

Для неразрезной балки и плоской рамы (рис. 25 и 26) подобрать размеры сечения. Принять для балки двутавровое, для рамы круглое сечения. Требуется:

1. Определить степень статической неопределимости, выбрать основную и соответствующую ей эквивалентную системы.

2. Составить уравнения трёх моментов для балки и канонические уравнения метода сил для рамы, вычислить коэффициенты для правой части уравнения трёх моментов и коэффициенты канонических уравнений, подставить полученные коэффициенты в уравнения и определить неизвестные усилия .

3. Построить эпюры суммарных внутренних усилий , и , возникающих от найденных усилий и от внешней нагрузки.

4. Подобрать номер профиля двутавра для балки и диаметр для стержней рамы. Считать плоскость нагрузки балки совпадающей с осью наименьшей жёсткости сечения.

5. Определить вертикальное перемещение сечения рамы.

Принять , , , , кН/м, м; допускаемое напряжение МПа, модуль упругости МПа.

Пример выполнения задачи 10 для неразрезной балки (схема а)

Рассмотрим расчёт неразрезной балки (рис. 27) по условию задачи 10 при , кН/м, м.

Решение

1. Определим степень статической неопределимости (рис. 27, а). На балку наложены четыре связи: в заделке возникают три усилия (момент и две силы и ) и в шарнирно подвижной опоре вертикальная реакция . Для плоской системы можно составить три уравнения равновесия, следовательно, балка один раз статически неопределима.

Выбираем основную систему (рис. 27, б). Преобразуем схему балки так, чтобы она стала статически определимой, для чего вставим шарниры в местах опирания балки, причём в заделке добавляем дополнительный пролёт длиною 0, что необходимо для получения расчётной схемы для использования уравнения трёх моментов. Напомним, что пролётом называют расстояние между опорами. Нумеруем опоры и пролёты так, чтобы номер правой опоры соответствовал номеру пролёта. Составим эквивалентную систему (рис. 27, в): для сохранения равновесия приложим внешнюю пролётную нагрузку и моменты в шарнирах , , ; заметив, что можно сразу записать как сумму моментов нагрузки справа от опоры 2,

кН×м.

Рис. 25

Рис. 26

Для изображения расчётной схемы балки с консолями приходится отбрасывать консоль, поэтому на крайней правой опоре кроме момента нужно приложить сосредоточенную силу (согласно правилу переноса сил).

Момент , поскольку левее опоры нет нагрузки.

2. Неразрезную балку решают с помощью уравнения трёх моментов, которое имеет вид:

.

Так как рассматриваемая балка один раз статически неопределима, то подставляем и получаем

, (1)

где – неизвестный момент, над опорой 1, который необходимо определить; ; ; – площадь эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок в первом пролёте, здесь ; – площадь эпюры изгибающих моментов от внешних нагрузок во втором пролёте, для определения необходимо построить эпюру грузовых моментов на 2-ом пролёте длиною (рис. 27, г), причём здесь моменты и не учитывать, поскольку они не являются пролётной нагрузкой.

Заметим, что для вычисления правой части уравнения (1), необходимо иметь эпюры грузовых моментов всех пролётов балки (это эпюры моментов от пролётной нагрузки, они составляют эпюру грузовых моментов). В нашем примере нужно построить эпюру только во 2-ом пролёте.

Для построения эпюры грузовых моментов 2-го пролёта необходимо найти опорные реакции из уравнений равновесия этого пролёта и вычислить моменты в характерных сечениях пролёта.

: , отсюда кН.

Из уравнения определим реакцию кН.

Эпюру моментов строим по участкам I и II (рис. 27, г).

I-й участок: ,

при ;

при кН×м.

II-ой участок: ,

при кН×м;

при .

Построенная эпюра моментов позволяет определить грузовую площадь :

кН×м².

Подставим , , кН×м², м, м, кН×м в уравнение трёх моментов (1):

.

Решив это уравнение относительно , получаем опорный момент в заделке кН×м.

3. Для построения эпюры суммарных моментов, необходимо найти опорные реакции и вычислить моменты в характерных сечениях эквивалентной системы.

Сначала вычислим реакции опор от внешних нагрузок ( , , ) и найденного момента .

В 1-м пролёте длиною (рис. 27, в или г) реакции .

В 2-м пролёте длиною (рис. 27, в или д)

.

Отсюда

кН.

Необходимо помнить, что уравнение равновесия можно составлять либо для схемы эквивалентной балки (рис. 27, в), либо для реальной схемы (рис. 27, д), в которой нужно поставить найденный момент . Здесь составлено для рисунка 27, д.

Из уравнения получим реакцию

кН,

Рис. 27

Полная реакции -ой опоры определяются суммой реакции двух соседних пролётов:

.

Тогда в нашем примере кН,

кН.

Зная реакции опор и опорный момент , строим эпюры суммарных поперечных сил и изгибающих моментов по участкам (рис. 27, е, ж).

I-й участок. :

кН;

,

при кН×м;

при кН×м.

II-й участок. :

кН;

,

при кН×м;

при кН×м.

III-й участок. :

,

при ;

при кН;

,

при кНм;

при кНм.

Из эпюры моментов выпишем максимальный изгибающий момент кНм.

4. Необходимый номер двутавра для сечения балки должен удовлетворять условию прочности по нормальным напряжениям

.

Из этого условия требуемый момент сопротивления

м³ см³.

По таблице 13 (см. приложение) выбираем номер двутавра №16 с см³. В этом случае наибольшее нормальное напряжение

МПа.

Недонапряжение составляет

,

что меньше принимаемого для экономичного сечения.