Контрольная работа № 3 Сложное сопротивление и статически неопределимые системы Задача 8

Балка прямоугольного и двутаврового сечения нагружена в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 19). Такое нагружение вызывает косой изгиб балки. Требуется:

1. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях и установить положение опасного сечения.

2. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры прямоугольного и двутаврового поперечного сечения (рис. 20).

3. Вычислить напряжения в угловых точках прямоугольного сечения, построить по этим данным эпюру напряжений, провести нейтральную линию в сечении.

4. Определить аналитически положение нейтральной линии в опасном сечении балки и сопоставить с результатами, полученными графически в п.3.

Исходные данные взять из табл.9. При подборе прямоугольного сечения принять отношение сторон и допускаемое напряжение МПа, при подборе двутаврового сечения МПа.

Таблица 9

Схема	, кН/м	, кН×м	, кН	, м
I	15	26	5	1,0
II	10	35	10	0,9
III	12	20	12	1,1
IV	18	32	7	1,2
V	20	28	13	0,8
VI	14	30	11	1,4
VII	17	32	6	1,3
VIII	21	24	14	1,0
IX	16	38	8	1,4
X	24	25	9	1,2
е	е	д	г	е

Рис. 19

Рис. 20

Пример выполнения задачи 8

Рассмотрим расчёт балки (рис. 21) согласно условию задачи 8 при м; кН/м; кН; кНм.

Решение

1. Балка нагружена в вертикальной плоскости только равномерно-распределённой нагрузкой интенсивности , а в горизонтальной сосредоточенным моментом и силой . Покажем оси , и на балке (рис. 21, а).

Сначала изобразим отдельно схемы нагружения балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях и для каждой из них построим эпюры изгибающих моментов соответственно и .

При построении эпюр моментов необходимо использовать рассмотренный выше пример решения задачи 7 и в каждой плоскости придерживаться следующей последовательности: из уравнений равновесия вычислить реакции опор, далее записать выражения моментов и по участкам, подсчитать их характерные значения и, отложив полученные значения моментов, провести эпюры и .

Для рассматриваемого примера эпюры и представлены на рисунке 21, б, в.

Согласно этим эпюрам опасным будет сечение балки в точке , где и достигают максимальных значений.

Рис. 21

В случае несовпадения наибольших изгибающих моментов в двух плоскостях расчёт необходимо вести по двум или трём сечениям, где наиболее вероятно появление опасного сечения.

2. Подбор размеров сечений при косом изгибе необходимо выполнять, пользуясь условием прочности по нормальным напряжениям в виде:

.

Найдём требуемое значение осевого момента сопротивления

. (1)

Рассмотрим подбор размеров прямоугольного сечения. Для него моменты сопротивления

, .

Причём соотношение при заданном отношении сторон равно , а момент сопротивления

. (2)

Теперь сначала вычислим по (1) требуемое значение осевого момента сопротивления, подставив соотношение :

м³ см³,

и далее используя (2) найдём требуемое значение :

см.

Принимаем ширину прямоугольного сечения см и высоту см.

Рассмотрим подбор размеров двутаврого сечения. Для двутавра величины моментов сопротивления , заданы в таблицах ГОСТ (см. табл. 13 приложения). При подборе сечения из условия прочности по (1) имеем два неизвестных значения: , . Чтобы преодолеть эту проблему, можно задать значение соотношения , которое по значениям ГОСТ равно приблизительно от 6 до 14. Для удобства принимаем . Тогда по (1)

м³ см³.

По этому значению из табл. 13 выбираем двутавр № 27 с см³ и см³. Проверим экономичность взятого номера по наибольшим напряжениям, которые при косом изгибе равны сумме напряжений от изгибающих моментов и :

МПа МПа.

Здесь недонапряжение составляет , что меньше , и, значит, сечение достаточно экономично. Останавливаемся на этом профиле и принимаем двутавр № 27.

В случае, когда недонапряжение больше , можно взять другой номер двутавра и проверить, экономичнее ли он. Далее сделать окончательный выбор и указать номер принимаемого двутавра.

3. Для заданной балки прямоугольного поперечного сечения построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении и определим положение нейтральной линии (рис. 21, д).

От изгибающего момента растянутые волокна в сечении будут сверху от оси x, а сжатые – снизу. От изгибающего момента растянутыми будут волокна, лежащие справа от оси y, а сжатые – слева, если смотреть на балку вдоль оси z слева.

Соответствующие знаки напряжений по четвертям сечения показаны на рисунке 21, г, на котором наибольшие растягивающие напряжения возникают в точке 2, а наибольшие сжимающие напряжения в точке 3. При вычислении напряжений в четырёх угловых точках прямоугольного сечения знак "+" ставим для растягивающих напряжений и знак "–" для сжимающих.

МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

Построим эпюру напряжений по граням сечения (рис. 21, д). Нулевые точки эпюры напряжений перенесем на контур сечения и проведём нулевую линию, т.е. линию на которой напряжения на всех точках равны нулю.

4. Проверим правильность графического построения нейтральной линии, вычислив её угол наклона , используя формулу

.

.

В этой формуле значения изгибающих моментов берут с теми знаками, которые они имеют в первой положительной четверти осей координат (рис. 21, г).

Если получим положительный угол , то нулевую линию проводим, отсчитывая угол от оси х по часовой стрелке.

Полученное значение угла согласуется с углом наклона нулевой линии на построенной выше эпюре напряжений.