Практическое занятие №6* Элементы теории отображений и алгебры подстановок (перестановок). Операции над подстановками. Перестановки
Определение. Перестановкой степени n называется любая упорядоченная запись натуральных чисел 1, 2, 3, . . . , n в строчку одно за другим. Например, (2, 4, 3, 1, 5.) Это перестановка пятой степени. Вообще можно говорить о перестановках не только чисел, но и объектов любой природы, но для нас наибольший интерес представляет перестановка натуральных чисел. В принципе можно каждому объекту присвоить свой номер, тогда любая
перестановка
объектов может быть заменена перестановкой
чисел. Можно смотреть на перестановку
элементов как на перестановку их номеров.
Таким образом: подстановка на Х
представляет взаимно однозначную
функцию
Пример 1
,
При записи
подстановок используются также круглые
скобки. Подстановку можно задавать и
одной строкой. Например:
Определение. Транспозицией называется такое преобразование перестановки, при котором какие – либо два её элемента меняются местами, а все остальные элементы остаются на своих местах.
Произведение подстановок
Определение. Произведением подстановок называется суперпозиция
Пример 2
Покажем, как выполняется умножение для первого элемента.
|
|
Пример 3
Обратная подстановка
Для того, чтобы получить обратную подстановку, нужно поменять местами образы и прообразы, т.е. первую и вторую строку и привести к каноническому виду.
Пример 4.
Найти обратную подстановку для .
Графическое представление подстановок
|
|
Инверсии
Определение. Говорят, что в данной перестановке два числа образуют
инверсию (беспорядок) если большее из чисел в данной перестановке стоит
левее меньшего (
т.е. пары
:
).
В противном случае эти два числа образуют
порядок.
Будем называть подстановку чётной, если общее количество инверсий, содержащихся и впервой и во второй строчках чётное число и нечётной, если общее число инверсий в двух строчках – число нечётное.
Пример 5. Найти
все инверсии для подстановки
и
Определить четность и нечетность этих
подстановок.
;
1) Для перечислим все возможные инверсии:
Для первого элемента 5: (5;2), (5;1), (5;4), (5;3).
Для второго элемента 2: (2;1)
Для третьего элемента 1: инверсий нет
Для четвертого элемента 4: (4;3)
Всего имеется 6 инверсий, следовательно, подстановка четная.
2 способ. Подсчитаем общее количество инверсий в данной перестановке. Для этого поступим следующим образом:
- возьмём единицу
и сосчитаем, сколько чисел стоит левее
единицы: |5
2 1 4 3|,
,
1 –2
инверсии, затем единицу вычеркнем из
перестановки;
- теперь
возьмём двойку и подсчитаем, сколько
чисел стоит левее двойки|5
2 4 3|,
;
2 – 1
инверсия; вычёркиваем двойку
- и принимаемся
за тройку; |5
4 3| левее
тройки стоит 2
числа, то есть тройка даёт нам 2инверсии,
;
- вычёркиваем
тройку |5
4
| и считаем,
сколько чисел будет левее четвёрки;
четвёрка даёт 1
инверсию,
;
- вычёркиваем
четвёрку |5| и
считаем количество чисел левее пятёрки;
пятёрка даёт 0 инверсий,
.
Итого:
2+1+2+1=6
Общее число инверсий шесть.
2) Для перечислим инверсии:
Для первого элемента 3: (3;2), (3;1).
Для второго элемента 2: (2;1)
Для третьего элемента 5: (5;4), (5;1).
Для четвертого элемента 4: (4;1)
Всего имеется 6 инверсий, следовательно, подстановка четная.
2 способ для подсчета числа инверсий:
1. |3
2 5 4 1|,
|
2. |3 2 5 4|, |
3. |3 5 4|,
|
4. |5 4|, |
5.
|
4+1+0+1+0=6
|
,