Практическое занятие №1 Операции над множествами. Классификация множеств. Элементы теории множеств
Теория множеств была создана в ХIХ веке такими математиками как Б.Больцано, Р. Додекинд, Г.Кантор и др
Основные понятия теории множеств.
Множество — основное понятие математики, которое дается без определения.
Пример: множество предметов, множество рыб, множество студентов, множество решений уравнения, множество действительных чисел и т.д.
В жизни употребляют «набор», «собрание», «коллекция», «стадо», «табун» и т.д.
Объекты любой природы (люди, дома, книги, геометрические фигуры, цифры, числа и т.д.) составляющие множество, называют элементами множества
Символика:
α
А,
а принадлежит множеству А, α
А, а не принадлежит множеству А
А
В, А подмножество множества В,
-
пустое множество
N, Z, Q, R — специальные обозначения числовых множеств: натуральных, целых, рациональных, действительных чисел.
Множества могут содержать как конечное, так и бесконечное число элементов. Элементами множества могут быть множества
Пример: множество групп техникума.
Способы создания множеств:
1. Перечисление элементов множества А = {а, в, с}
2. Указание характеристических свойств:
Пример: а) М={х |
x
N
x<6}
б) А = {множество студенток групп 2а2}
Определение: Множества А и В называют равными если они состоят из одних и тех же элементов.
Определение:
Часть множества называют подмножеством
т.е. множество В называют подмножеством
А, тогда и только тогда, когда каждый
элемент В принадлежит множеству А. В
А
Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними изображают геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Такие изображения называют диаграммами Эйлера-Венна
Л.Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик, Джон Венн (1834-1923) — английский математик
Часто рассматривают подмножества одного и того же множества V, такое подмножество называют универсальным |
|
Операции над множествами
1. Пересечение множеств(И)
А
B
— {х | х
Определение: Пересечением множества А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые входят и в множество А и в множество В. |
|
А
|
|
А, х
B}
B
=
т.е. множества не пересекаются
Пример 1.
А — множество всех прямоугольников; В — множество всех ромбов;
А B — множество всех квадратов4
Пример 2.
А={2, З, 9, 12} В = (1, 3, 9, 26}, А B = {3, 9}
Свойства пересечения 1. Коммутативность: А В= В А 2. 2. Ассоциативность: (А B) С= А (А С)= А B С |
|
|
3. Если А В то А B =А
|
|
|
Объединение
множеств (или): А
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В. |
|
|
Пример 1
|
А={2, 5, 9}, В= {5, 9, 11), А В {2; 5; 9; 11} |
|
Свойства объединения 1. Коммутативность: А В = В А
2. Ассоциативность:
А
(В
С) = (А
З. Если А В, то А B =В , А А=А, А =А, А V=V) |
|
|
|
|
|
4. Дистрибутивность: а) А (В С)= (А В) (А С)
|
|
|
б) А (В С)= (А В) (А С)
|
|
|
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат в точности одному из множеств А или В. Обозначается: А В. А В = (A \ B) (B \ A)
|
|
|
Дополнение к Множеству Если В А, то В/A = { x | x A x B} Определение: Если В подмножество множества А, то дополнением множества В до множества А в называется В/A множество состоящее из элементов, которые входят в А, но не принадлежат множеству В. |
|
|
Пример: А — множество всех параллелограммов; В — множество всех параллелограммов с неравными парными сторонами; В А. В/A - множество всех ромбов; |
||
Свойства: 1. (А B)/ =А/ B/ 2. (А B)/ =А/ В/ |
|
|
Разность множеств А \ В А \ B {x : x А , x В}
|
|
|
Свойства: 1.А \В =А\ (А B) 2.А \ (B C)=(А \В) (А \С) 3. А \ (B C) = (A \ B) (A \ C) = (A \ B) \ C |
|
|
В . А
В = {х | х
А
или х
В}
В)
С = А
В
С
Пример:
А= {2, 5, 11, 15}; В= {11, 15, 26}; А \ В={2, 5}