Практическое занятие №2

Кортежи и декартово произведение множеств.

Вектором (кортежем) в линейной алгебре и дискретной математике называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение вектора, поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 – тройками и т. д.

Определение. Два вектора равны, если они имеют равную длину и их соответствующие координаты равны. Иначе говоря, векторы и равны, если и .

Определение. Прямым произведением множеств А и В (обозначение ) называется множество всех упорядоченных пар , таких, что . В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат множеству А, такое произведение обозначается А². Аналогично, прямым произведением множеств называется множество всех векторов длины п, таких, что .

Пример 4. Множество - это множество всех упорядоченных пар действительных чисел, геометрической интерпретацией которого служит декартова координатная плоскость.

Координатное представление точек плоскости было впервые предложено Р. Декартом и исторически является первым примером прямого произведения. Поэтому часто прямое произведение множеств называют декартовым произведением.

Пример 5. Даны множества и . Тогда есть множество обозначений клеток шахматной доски.

Вообще конечное множество, элементами которого являются какие-либо символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.) называется алфавитом. Любые элементы множества в этом случае являются словами длины п в алфавите А. Например, десятичное целое число – это слово в алфавите цифр.

Определение. Проекцией вектора на некоторую ось называется его компонента (координата) с соответствующим порядковым номером (обозначается пр_ia). Например, проекция точки плоскости на 1-ю ось есть её абсцисса (первая координата).

Теорема 1.1. Мощность произведения конечных множеств равна произведению мощностей этих множеств: .

Следствие. .

Эта простая теорема и её следствие впоследствии широко используются в комбинаторике

Практическое занятие №3*. Проверка теоретико-множественных операций с помощью формул и определений

Задание. Докажите тождества, используя определения операций над множествами.

вариант		вариант
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Пример 1.

Докажите тождества, используя определения операций над множествами.

.

Решение

Воспользуемся определениями операций над множествами

1.Пересечение множеств(И) А B — {х | х А, х B}		Определение: Пересечением множества А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые входят и в множество А и в множество В.
Объединение множеств (или): А В: А В = {х | х А или х В}		Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.
Разность множеств А \ В: А \ B {x : x А , x В}		Определение: Разность множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые входят в множество А, но не входят в множество В

Левая часть равенства	Правая часть равенства
Ч.т.д.