2 Китайская теорема об остатках

Эта теорема в её арифметической формулировке была описана в трактате китайского математика Сунь Цзы, предположительно датируемом третьим веком н. э. и затем была обобщена Цинь Цзюшао в его книге «Математические рассуждения в 9 главах» датируемой 1247 годом, где было приведено точное решение.

Если натуральные числа   попарно взаимно просты, то для любых целых   таких, что   при всех   найдётся число, которое при делении на   даёт остаток   при всех. Более того, если найдутся два таких числа   и, то.

2.1 Доказательства

Воспользуемся методом  математической индукции. При   утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема справедлива при, т. е. существует число, дающее остаток   при делении на   при. Обозначим и рассмотрим числа. Покажем, что хотя бы одно из этих чисел даёт остаток   при делении на. Допустим это не так. Поскольку количество чисел равно, а возможных остатков при делении этих чисел на  может быть не более чем   (ведь ни одно число не даёт остаток), то среди них найдутся два числа, имеющих равные остатки (принцип ящиков Дирихле). Пусть это числа   и   при,   и.

Тогда их разность   делится на, что невозможно, т. к.   и   взаимно просто с, ибо числа   попарно взаимно просты (по условию). 

Таким образом, среди рассматриваемых чисел найдётся число, которое при делении на   даёт остаток. В то же время при делении на  число   даёт остатки   соответственно.

Докажем теперь, что. В самом деле, то есть. Так как все  взаимно просты, то   делится на их произведение. 

Конструктивный метод доказательства. Это доказательство теоремы помогает поиску решения системы линейных уравнений по модулю. Рассмотрим систему уравнений:

(1)

Если наборы   и   удовлетворяют условию теоремы, то решение системы (1) существует и единственно с точностью до операции взятия по модулю, где, причем справедлива формула

, где, а

((2)

Покажем, что определенный таким образом   является решением — проверим, что для него выполняется i-е равенство в системе:   

Второе равенство справедливо т. к.   при всех, третье т. к.  является обратным для   по модулю. Повторяя рассуждения для всех, убедимся, что, определенный формулой (2), является решением для (1).

В силу выбранного числа   все числа   будут удовлетворять системе.

Покажем теперь, что среди чисел   (множество) не найдется другого решения кроме найденного нами ранее. Проведем доказательство этого факта от противного. Предположим, что получилось найти хотя бы два решения   для некоторого набора остатков. Так как множество   всех допустимых наборов  является равномощным множеству, то для   и   выполнено. Однако по доказанному ранее, для любого набора из   существует решение из, следовательно, по принципу Дирихле найдутся как минимум 2 набора остатков, которым соответствует одно и то же. Для такого   найдется   такое, что   и. 

Из доказанного выше следует, что существует взаимно однозначное соответствие между вектором остатков из   и числом из множества   для любого набора, что означает, что отображение   в, заданное (2), является биективным.

Заметим, что кроме соответствия

; верны также

;

Временная сложность перехода от вектора остатков к числу оценивается как, где k — длина восстанавливаемого числа в битах.