3. Запись приближенных значений. Верные знаки

Обычно приближенные значения числовых величин записываются в виде десятичных дробей с конечным числом цифр. Любую десятичную дробь можно представить в виде .

Определение 5. Значащими цифрами в десятичной дроби называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 4. В дроби 0,01035 значащими являются цифры с третьей по шестую (начиная слева) : 1, 0, 3, 5.

В дроби -27,078 значащими являются все цифры, так как уже первая слева цифра 2≠0.

Определение 6. Значащая цифра в десятичной записи приближенного значения называется верной в широком смысле слова, если погрешность этого приближенного значения не превышает единицы разряда, в котором стоит эта цифра. Т. е. - верная в широком смысле цифра в записи приближенного числа, если .

Определение 7. Значащая цифра в десятичной записи приближенного значения называется верной в строгом смысле слова, если погрешность этого приближенного значения не превышает половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра. Т. е. - верная в строгом смысле цифра в записи приближенного числа, если .

Определение 8. Цифры в записи числа, не являющиеся верными называются сомнительными.

Очевидно, что если цифра - верная, то все цифры в записи числа, расположенные слева от неё также являются верными.

Пример 8. Пусть , . Значащими цифрами в записи являются: 2,0,3,4,5. Т. к. граница абсолютной погрешности приближенной величины - , то в широком смысле слова в записи будут верными цифры с третьей по пятую: 2, 0, 3. В строгом же смысле слова верны будут только третья и четвертая цифры 2 и 0, потому что .

Пример 9. Определить верные и сомнительные цифры в записи приближенного числа, если =12,354, =0,076.

Согласно условию, =0,076 <0,1. Значит верными в широком смысле, являются цифры: 1,2 и 3. В строгом же смысле слова верны будут цифры целой части числа- 1 и 2 , потому что =0,076 <0,5

Чтобы при работе с приближенными числами избежать указания погрешности принято в их записи использовать только верные цифры.

Пример 10. Пусть в записи приближенного числа , все цифры верные в широком смысле. Тогда абсолютная погрешность не превышает единицы разряда, в котором стоит последняя значащая цифра

3.4. Округление. Погрешность округления. Правило подсчета верных знаков

При ручных вычислениях и подсчетах на компьютере практически невозможно обойтись без округлений промежуточных или конечных результатов. При ручных расчетах обычно используется способ симметрического округления, изучаемый в школе. При расчетах на компьютере или калькуляторе все числа, не помещающиеся в разрядной сетке машины, автоматически округляются путем простого отбрасывания младших разрядов. Операция округления вносит дополнительную погрешность в расчеты.

Пусть и - точное и приближенное значения числовой величины, а - результат округления числа .

Определение 9. Абсолютной погрешностью округления называется число .

Погрешность приближенного числа после округления , т. к. .

При ручных вычислениях часто возникает вопрос о том, сколько цифр оставить при округлении.

Пример 11. Пусть , , - число полученное из путем округления. Погрешность приближенной величины . Это значит, что в записи только две первые цифры после запятой являются верными.

Рассмотрим три случая.

1. , тогда, , следовательно . Значит, в записи округленного числа сохранились все верные знаки и еще один неверный знак.

2. , тогда , . Значит, в записи округленного числа сохранились все верные знаки .

3. , тогда , . Значит, был сокращен даже один верный знак.

Правило подсчета верных цифр

Если приближение - окончательный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками.

Если приближение - промежуточный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками плюс один-два добавочных знака.

При записи окончательных приближенных результатов с известной оценкой погрешности часто используют следующую форму записи:

Пример 12. Запись означает, что приближенное значение этой величины =1,272, а оценка его абсолютной погрешности – =0,011.

При этом погрешность обычно округляет до 2-х значащих цифр в сторону увеличения, а в записи приближенного значения сохраняют столько же разрядов после запятой, сколько их имеется в записи .

Пример 13. Пусть получены следующие результаты: . Тогда окончательный результат должен быть записан либо в виде: , либо в форме: . Таким образом, в записи результата сохраняются все верные знаки.

Пример 14. Округлить сомнительные цифры числа x=72,353±0,026, оставив цифры верные в узком смысле. Определить границу абсолютной погрешности результата.

Верными в строгом смысле слова будут цифры 7,2 и 3 , потому что =0,026 <0,05. Значит, в округленном числе надо будет оставить только одну цифру после запятой. Так как следующая за ней цифра 5, то по правилам симметрического округления . Абсолютная погрешность округления . Погрешность приближенного числа после округления Полученная погрешность . Значит, цифра 4 в округленном числе не является верной в узком смысле. Оставим в округленном числе только 2 цифры: . При таком округлении погрешность приближенного числа Значит, в полученном приближенном числе все цифры являются верными в узком смысле.