Брянский колледж экономики, статистики и информатики - филиал МЭСИ

УТВЕРЖДАЮ:

Заместитель директора по УМР

____________Т.Н. Кузина

«____» _______________

ИНСТРУКЦИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

«Теория погрешностей»

По предмету «Численные методы» для студентов специальности 230105

«Программное обеспечение ВТ и автоматизированных систем»

Инструкция составлена преподавателем Ноздрачевой Н.Л.

Согласовано на заседании цикловой комиссии ИТ и ВТ

Протокол заседания № ___ от ____________ 200 г.

Председатель комиссии _________С.И. Тетерина

Брянск

Содержание

1. Цель работы.

2. Приборы и оборудование.

3. Общие теоретические сведения.

4. Задание.

5. Порядок выполнения работы.

6. Отчет о выполненной работе.

7. Контрольные вопросы.

8. Литература.

1. Цель работы:

1. Закрепить понятия абсолютной и относительной погрешностей.

2. Научиться оценивать абсолютную и относительную погрешности вычислений.

3. Закрепить понятия цифр числа, верных в широком и строгом смысле.

4. Научиться округлять сомнительные цифры числа и определять абсолютную погрешность результата.

5. Научиться оценивать абсолютную и относительную погрешности чисел, имеющих только верные цифры.

6. Научиться оценивать погрешности результата действий над приближенными числами.

2. Приборы и оборудование:

1. калькулятор или ПК с программой «калькулятор»

3. Общие теоретические сведения

1. Источники погрешностей

При вычислениях по заданным формулам нередко возникают ситуации, когда результат вычислений имеет погрешность, то есть он не совпадает с точным значением искомой величины. Выделяют следующие источники погрешностей при вычислениях по формулам:

1. Погрешности аргументов формулы

Пример 1. Пусть требуется определить площадь прямоугольника, нарисованного на листе бумаги. Обозначим через a и b длины его сторон, тогда искомая площадь S=ab. Но длины сторон измеряются линейкой и результаты измерений не будут абсолютно точными. Поэтому и конечный результат вычисления площади по этой формуле будет иметь погрешность.

2. Погрешности, возникающие в результате округлений

Пример 2. Пусть требуется вычислить длину окружности радиуса R=1. Значение длины L=2πR=2π. Но число π=3,14159265… невозможно записать в виде десятичной дроби с конечным числом разрядов. Чтобы выйти из положения приходится это число округлять, то есть заменять другим числом, например, 3,14. В результате вычисления длины по формуле L=2·3,14=6,28 мм опять-таки не получим точного значения искомого результата.

3. Погрешности, возникающие при вычислении значений таких функций, как тригонометрические, показательные, логарифмические и т. д.

Пример 3. Пусть требуется произвести вычисления по формуле c=a·sinb при известных точных значениях аргументов a=2 и b=1. Для вычисления значения синуса необходимо использовать математические таблицы, либо вычислительную технику. И в том и в другом случае мы получим приближенное значение c. Поэтому и конечный результат будет приближенным.

4. Прямые ошибки вычислителя

Если ошибки вычислителя можно исправить, то ошибки, порождаемые первыми тремя источниками, в принципе неустранимы. Поэтому возникает практическая потребность научиться работать с приближенными значениями величин, оценивая их точность.

2. Абсолютная и относительная погрешности. Оценка погрешностей

Пусть имеется некоторая числовая величина. Одно из ее значений (которое требуется определить или задать) мы обозначим через и будем называть точным значением этой величины. Под приближенным значением этой же величины мы будем понимать любое число, которое берется вместо для каких-либо целей. Обозначим его .

Определение 1. Абсолютной погрешностью приближенной величины называется величина .

Пример 4. Длина прямоугольника равна 2см 1мм. Ученик, измеряя её, получил, результат 2см 2 мм. В этом случае абсолютная погрешность составляет Е= см или 1 мм.

Пример 5. Длина прямоугольной доски равна 50 см. Ученик, измеряя её, получил, результат 49см 9 мм. В этом случае абсолютная погрешность составляет Е= см или 1 мм.

В приведенных примерах абсолютная погрешность получилась одинаковой, однако интуитивно мы понимаем, что во втором примере погрешность менее значительна, чем в первом. Для оценки погрешности с учетом самой величины вводится понятие относительной погрешности.

Определение 2. Относительной погрешностью приближенной величины называется величина .

Пример 6. Вычислим относительную погрешность приближенных величин, полученных в примерах 4 и 5.

В примере 4: . В примере 5: .

Так как , то второе значение является более точным.

Как правило, абсолютную и относительную погрешность вычислить невозможно, так как обычно неизвестно точное значение . Поэтому при нахождении погрешностей обычно используют их верхние границы.

Определение 3. Границей абсолютной погрешности называется величина , такая что Это неравенство равносильно неравенству .

Очевидно, что таких границ для любой приближенной величины существует бесконечное множество. Если удается найти несколько оценок абсолютной погрешности , то выбирают наименьшую из них, так как именно наименьшая оценка является наиболее точной, наиболее близкой к точному значению абсолютной погрешности.

Зная границу абсолютной погрешности можно определить границу относительной погрешности .

Определение 4. Границей относительной погрешности называется величина , такая что или . Оценок относительной погрешности также существует бесчисленное множество.

Пример 7. Определить какое равенство точнее: или .

Обозначим приближенные значения данных величин: , и . Тогда точные значения этих величин, полученные с помощью калькулятора: и Значение абсолютной погрешности найти нельзя, так как точные значения обоих величин являются бесконечными десятичными дробями. Найдем границы абсолютных погрешностей этих величин, округляя их с избытком:

, .

Тогда границы относительных погрешностей составляют:

Так как , то первое равенство является более точным.