115

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ 62

Тест ранговой корреляции Спирмена 63

Тест Голдфелда-Квандта 64

Метод взвешенных наименьших квадратов 68

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 72

АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ 77

Критерий Дарбина-Уотсона 77

Методы устранения автокорреляции 81

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 86

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ 88

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 92

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ 94

Анализ аддитивной модели 97

Анализ мультипликативной модели 101

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 107

Преимущества и недостатки метода скользящей средней 109

Простая модель экспоненциального сглаживания 110

Экспоненциальное сглаживание с поправкой на тренд 111

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 114

Гетероскедастичность

При использовании МНК в парной и во множественной регрессиях были наложены некоторые ограничения. Одной из предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайных отклонений (гомоскедастичность). Не должно быть априорной причины, вызывающей большую ошибку (отклонение) при одних наблюдениях и меньшую  при других. Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью.

На практике гетероскедастичность не так уж и редка, она характерна для перекрестных данных. Оценки, полученные по МНК, при наличии гетероскедастичности не будут эффективными (то есть они не будут иметь наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками данного параметра). Стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, поэтому статистики будут завышены, что приводит к признанию статистически значимыми коэффициентов, которые таковыми не являются. Доверительные интервалы теоретических коэффициентов уравнения линейной регрессии получаются уже, чем на самом деле.

Для выяснения наличия гетероскедастичности и смягчения ее последствий существуют различные тесты и методы. Рассмотрим некоторые из них.

Тест ранговой корреляции Спирмена

Предполагаем, что дисперсии отклонений будут либо увеличиваться, либо уменьшаться с ростом значений x. Пусть n  число наблюдений. Значения переменной x и ранжируются (упорядочиваются по величине). Обозначим через d разность между рангами значений x и .

Коэффициент ранговой корреляции определяется формулой .

Зададим доверительную вероятность p. Тогда . С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(;n2) находим граничную точку . Статистика определяется по формуле .

Если , то на уровне значимости  принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности. Иначе гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. В модели, содержащей несколько факторов, проверка гипотезы об отсутствии гетероскедастичности проводится с помощью статистики t для каждого из них отдельно.

Тест Голдфелда-Квандта

Рассмотрим линейную регрессию . Предположим, что стандартное отклонение пропорционально значению переменной x в этом наблюдении: , . Еще предполагаем, что имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция (проблема автокорреляции будет рассмотрена далее). Считаем, что все n наблюдений упорядочиваются по величине x. Эта упорядоченная выборка делится на три примерно равные части объемов k, n  2k и k соответственно.

Для каждой из выборок объема k оценивается свое уравнение регрессии и находятся суммы квадратов отклонений и соответственно.

Доверительная вероятность p, . С помощью функции FРАСПОБР( ; ; ) находится граничная точка , где m  количество факторов модели. Статистика определяется формулой .

Если , то на уровне значимости  принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности. Иначе гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется. Для множественной регрессии тест обычно проводится для того фактора, который в максимальной степени связан с . При этом выбирают . Если нет уверенности относительно выбора фактора , то данный тест можно осуществить для каждого фактора.

Пример 10.

Проверить гипотезу об отсутствии гетероскедастичности с помощью тестов ранговой корреляции Спирмена и теста Голдфелда-Квандта. Доверительная вероятность 95%.

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y	1,9	1,7	1,8	1,6	1,4	1,5	1,3	1,2	1,1

Решение.

Проверим гипотезу с помощью теста Спирмена.

С помощью пакета Анализ данных определяем коэффициенты уравнения линейной регрессии и величины остатков. Получаем уравнение регрессии . Заполняем таблицу:

x	y
2	1,9	0,013	0	9	6	3	9
3	1,7	0,09	0,09	8	4	4	16
4	1,8	0,11	0,12	7	1	6	36
5	1,6	0,003	0,03	6	9	3	9
6	1,4	0,1	0,06	5	2	3	9
7	1,5	0,097	0,097	4	3	1	1
8	1,3	0,007	0,007	3	8	5	25
9	1,2	0,01	0,01	2	7	5	25
10	1,1	0,013	0,013	1	5	4	16
							146

Второй столбец  это столбец Остатки из блока Вывод остатка. Столбцы и содержат порядковые номера элементов столбцов x и , ранжированных по убыванию. Для вычисления значений и можно воспользоваться функцией РАНГ(число;ссылка;0).

Далее вычисляем .

. С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(;n2) находим граничную точку . Статистику определяем по формуле . Так как , то на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.

Теперь проверим гипотезу с помощью теста Голдфелда-Квандта.

Наша выборка уже упорядочена по величине x. Разделим ее на три группы при k = 3. Вычисляем суммы квадратов отклонений значений из первой и третьей группы.

Первая группа:

x	y
2	1,9	0	0
3	1,7	0,09	0,0081
4	1,8	0,11	0,012
			0,0202

Третья группа:

x	y
8	1,3	0,007	0,00005
9	1,2	0,01	0,0001
10	1,1	0,013	0,00017
			0,00032

, с помощью функции FРАСПОБР(0,05;1;1) находится граничная точка . m  это количество факторов модели, в нашем случае m = 1. Статистика определяется формулой . Так как 0,02 < 161,45, то на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.