5.2. Проверка статистических гипотез при оценке стабиильности.

В условиях взаимодействия с вероятностными событиями используется теория статистического оценивания параметров, когда с определенной вероятностью доказывается достоверность инженерных выводов о стабильности (неизменности) параметров. В основе этого подхода лежит принцип практической уверенности, заключающийся в том, что если вероятность какого то события “А” в данном испытании очень мала, то при однократном выполнении эксперимента можно быть уверенным в том, что событие “А” не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, как будто событие “А” не возможно. Выдвигают гипотезу Н₀ (нуль гипотезу, например, что процесс стабилен), альтернативная гипотеза Н₁( процесс не стабилен).

В задачах оценки точности и стабильности используются статистические гипотезы следующих основных типов:

• о равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

• о числовых значениях параметров;

• о законе распределения;

• об однородности выборок ( т.е. принадлежности к одной и той же генеральной совокупности).

5.2.1. Критерий Фишера (f-критерий).

Для гауссовского закона распределения случайной величины при проверке гипотезы о равенстве выборочных дисперсий в качестве критерия значимости используется параметр, который равен отношению двух независимых оценок дисперсий генеральной совокупности S₁² и S₂² , имеющих соответственно степени свободы ν₁ и ν₂,т.е. F = S₁² / S₂².

При этом должно выполняться условие S₁² > S₂² в противном случае следует поменять местами выборочные дисперсии. Найденное экспериментальное значение F сравнивается с теоретическим F_t которое по числу степеней свободы и при заданном значении коэффициента риска находится из таблицы [ 7], построенной для F-распределения обладающего тем свойством, что случайные значения отношений дисперсий двух независимых выборок будут не менее F, по сравнению с заданным коэффициентом риска β. Для практических целей достаточно иметь такие таблицы для β = 0,01 и β = 0,05. Например, β = 0,01 (1%) означает, что отклонения, равного или большего наблюдаемого, можно ожидать только один раз на 100 опытов. Такая малая вероятность указывает на высокую степень значимости. Вот почему иногда вместо коэффициента риска эту вероятность называют уровнем значимости. В [2] предлагается использовать значение z₀ = 1,15 lg S₁² / S₂², где

(5.1)

В тех случаях, когда объемы всех выборок, по которым вычислялись дисперсии, одинаковы, для оценки однородности дисперсий целесообразно использовать критерий Кохрена, который предложил рассматривать отношение максимальной дисперсии к сумме всех остальных:

(5.2)

Квантили для величин g приведены в [ 7]. Таблица имеет два входа: р – число выборочных значений S_i², k = n-1 – число степеней свободы.

Пример 5.1. Исследовалась стабильность работы станка, объем выборки 20 штук. Дисперсия и среднее значение параметра в начале смены: D_н=1,39; Х_н=3,15; в конце D_к=1,14; Х_к=7,0. По таблицам [7], для 95% уровня значимости т.к. F_э< F_т ( 1,22 < 2,2), то нет оснований считать процесс не стабильным.