4.4. Метод наименьших квадратов.

Пусть в результате эксперимента для наблюдаемых значений первичного параметра х_i зафиксированы значения выходного па­раметра Y. Нанесем результаты эксперимента в виде эксперимен­тальных точек на координатную плоскость (рис.4.1).

Рис. 4.1. К использованию метода наименьших квадратов.

Понятно, что лучшей линией в корреляционном поле явля­ется такая, для которой расхождение с экспериментальными точками минимально. Это можно записать в виде критерия

, ( 4.9 )

где n — число экспериментальных точек (точек корреляционно­го поля); y_Эi,— экспериментальное значение у в i-й точке; y_Тi — теоретическое значение у в i-й точке. Для получения значения у_т, нужно в математическое выра­жение, описывающее предполагаемую удачную линию, подста­вить значение x_i. Критерий вида ( 4.9 ) является общим критерием. На его ос­нове могут быть предложены конкретные критерии, а именно:

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Критерий (4.10) предполагает, что расхождения между у_эi и у_тi принимаются со своим знаком, поэтому по математической записи он совпадает с общим критерием (4.9).

Из указанных критериев выбирают критерий (4.12) при значении a=2,

(4.13)

Подбор теоретических линий (функций) на его основе получил название метода наименьших квадратов. Этот метод имеет веское теоретическое обоснование ввиду следующего:

• линия, построенная в корреляционном поле с помощью данного метода, является наиболее вероятной;

• метод приводит к получению простых расчетных формул для определения коэффициентов теоретических функций.

4.5.Применение пассивного эксперимента для получения математических моделей

Опишем основные этапы процедуры получения матема­тических моделей объектов с использованием пассивных экспери­ментов.

1. Для рассматриваемого вида устройства выявляются пер­вичные параметры (факторы), в наибольшей степени влияющие на выходной параметр. Число этих факторов k рекомендуется ог­раничивать значением k ≤ 5-8.

2. Определяется требуемое количество опытов пассивного эксперимента n или, что то же самое, требуемое число замен эк­земпляра устройства:

(4.14)

где r_min — минимальное значение коэффициента парной корре­ляции между первичным параметром (фактором) и выходным параметром, считаемое еще значимым (существенным, весомым); обычно |r_min|=0,2…0,3;

s_r — среднее квадратичное отклонение коэффициента корреляции.

Значение s_r, определяют, как

, (4.15)

где t_y — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности γ.

Пример 4.1. Требуется определить, какое число опытов пас­сивного эксперимента необходимо провести для случая, когда принято значение |r_min|= 0,3. Доверительная вероятность y = 0,95.

Решение. По табл.[ 7 ] для у = 0,95 находим t_y=1,96.

По формуле (4.15) вычислим значение s_r:

Используя выражение (4.14), определим требуемое число опытов:

Нетрудно убедиться, что для |r_min|= 0,2 число опытов n³89.

3. Проводятся опыты пассивного эксперимента. Проведение опытов включает:

• наблюдение (измерение) значений факторов для исследуемо­го экземпляра устройства или техпроцесса;

• регистрацию (измерение) значения выходного параметра, соответствующего наблюдаемым значениям факторов;

• замену экземпляра устройства или фиксация параметра с другим технологическим режимом.

4. Выполняется статистическая обработка результатов опы­тов. В общем случае сложность математической обработки зави­сит от того, коррелированны ли между собой факторы.

Статистическая обработка в настоящее время как правило выполняется на ЭВМ с использованием библиотечных программ [5,14,22].

По результатам статистической обработки строят модели в виде уравнения регрессии. Часто вначале строят линейную модель

(4.16)

где Y — выходной параметр;

x₁,…x_k — факторы;

k — количество факторов, принятых во внимание;

a₀, a₁,…,a_k — коэффициенты модели, получаемые из экспе­римента.

При записи математической модели в нее включают только значимые коэффициенты. Проверка значимости, как правило, является составной частью статистической обработки и выполня­ется с помощью тех же библиотечных программ.

Проверить значимость коэффициента модели означает дать ответ на вопрос, за счет чего коэффициент оказался отличным от нуля — за счет случайных причин (ограниченного числа опытов), либо за счет того, что это объективно имеет место.

Программы для ЭВМ, выполняющие процедуру проверки значимости, реализуют обычно следующий алгоритм. Для рас­сматриваемого коэффициента, например а, определяется довери­тельный интервал (интервальная оценка) , соответствующий доверительной вероятности γ:

,

где a_H, a_B — границы интервала.

Далее уточняется вопрос, попадает ли в построенный дове­рительный интервал точка a = 0 (рис 4.2 ).

коэффициент а

а_н а_точ а_в

Рис. 4.2. Доверительный интервал для коэффициента а; а_точ- точечная оценка.

Если это происходит, то нет оснований точечную оценку a* , полученную при статистической обработке, считать значимой, ибо отличной от нуля она могла оказаться за счет ограниченности числа опытов, погрешностей эксперимента и других случайных причин. Следовательно, такой коэффициент (слагаемое с коэффи­циентом а* ) не следует включать в формируемую матема­тическую модель.

Если в дальнейшем выяснится, что линейная модель вида (4.16) окажется неадекватной результатам эксперимента, то опять-таки с использованием библиотечных программ для ЭВМ, строят математическую модель в виде степенного по­линома. Обычно ограничиваются полиномом второй, реже третьей степени.

5. Проверяется пригодность построенной модели для целей практики. Об этом судят по ее адекватности результатам экспе­римента.

Проверить адекватность модели означает выяснить вопрос, за счет чего имеют место расхождения между значениями выход­ного параметра, полученными экспериментально и подсчитан­ными по построенной математической модели, — за счет погреш­ностей в опытах либо за счет того, что модель плохо описывает поведение выходного параметра объекта. Обычно этап 5 выполняют также на ЭВМ, совместно с этапом 4.

Многие библиотечные программы при проверке адекватно­сти используют критерий Фишера.

Пример 4.2. Исследовалось влияние технологических операций на величину потерь в магнитопроводах.

Потери (Вт\кг)	Тип обработки (точение,шлифов.)	штамповка	отжиг	склейка
1,12	1	2,11	1,1	1,55
0,92	1	2,54	0,9	1,74
0,68	1	2,6	1	1,82
0,56	1	2,34	0,75	1,5
1,13	1	2,7	0,82	1,45
1	1	2,15	0,64	1,68
1,1	1	2,4	0,96	1,78
1,3	1	2,1	1,2	1,8
1,85	2	2,62	1,1	1,72
1,7	2	2,44	0,87	1,86
1,75	2	2,06	0,66	1,45
1,05	2	2,43	0,72	1,9
1,35	2	2,12	0,65	1,76
1,6	2	2,12	0,88	1,63
1,7	2	2,6	1	1,75
1,6	2	2,35	0,92	1,8

В результате обработки экспериментальных данных получена математическая модель процесса. Из распечатки следует, что 78,5% от величины потерь в магнитопроводах зависит от факторов, включенных в исследование. Оказалось, что операция штамповки не оказывает значимого влияния на величину потерь и должна быть исключена из модели и анализа. Такой вывод противоречит опыту и требуется проведение дополнительных экспериментов для проверки такого расхождения.