3.3.Расслаивание погрешностей с помощью дисперсионного анализа

Как уже было отмечено выше главным недостатком расчетно – статистического метода является невозможность определить причины, вызывающие рассеивание размеров. Для решения этой проблемы может быть использован дисперсионный анализ. Дисперсионный анализ – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов. Дисперсионный анализ позволяет использовать в эксперименте по оценке точности как количественные, так и качественные факторы, т.е. такие, которым нельзя поставить в соответствие числовую шкалу ( станок, оператор, технологический метод и т.п.).

При серийном производстве часто для обеспечения необходимого объема выпуска осуществляется их одновременное изготовление параллельно на нескольких однотипных технологических линиях. Поэтому, чтобы быть уверенным в получении однородной совокупности изделий, необходимо ответить на вопрос, является ли работа однотипных линий или технологически установок идентичной. Можно было бы для ответа на этот вопрос применить критерий Стьюдента (см.5.2) для по парного сравнения средних арифметических выборок, сделанных из совокупностей, изготов­ленных на соответствующих технологических линиях (или установ­ках). Однако лучшим методом является разложение дисперсий, или дисперсионный анализ. Он основан на том, что при различии в ра­боте технологических линий (или установок) частные средние, вычи­сленные по выборкам, отличаются друг от друга больше, чем можно было бы ожидать на основе случайных колебаний отдельных значений контролируемого параметра качества.

Пусть имеется k выборок с одинаковым числом n изделий в каждой выборке. Тогда число наблюдений над контролируемым параметром качества N=kn. При дисперсионном анализе их рас­полагают в табл. 3.1 и для каждой выборки наблюдаемых значения вычисляют частную среднюю и частную дисперсию s_i²(i=1, 2,...,k).

Таблица 3.1

Номер выборки	1	2	3…i…k
Наблюдение xij	x11	x21	x31…xi1…xk1
	x1j	x2j	x3j…xij…xkj
	.	.	.
	x1n	x2n	x3n…x1n…xkn
Частотная средняя
Частотная дисперсия

Общая средняя арифметическая и общая дисперсия, вычисленные по всем наблюдениям, приведенным в табл. 3.1, составляют:

; . (3.3)

Чтобы выборочная дисперсия была несмещенной оценкой гене­ральной дисперсии, ее получают делением суммы квадратов от­клонений случайной величины от их среднего значения не на число наблюдений, а на число степеней свободы. Общая дисперсия имеет N— 1 степеней свободы. Из N наблюдаемых значений N— 1 независимы относительно , так как N— 1 значений можно выбрать по случайному закону, но после их выбора значение будет опреде­ляться значением параметра качества оставшегося изделия.

В дисперсионном анализе кроме общей дисперсии вычисляют еще две другие оценки рассеяния, из которых одна основана на колебании частных средних вокруг общей средней (будем называть ее дисперсией между выборками и обозначать через ), а другая — на колебании значений параметра вокруг частной средней внутри отдельных выборок (дисперсия внутри выборок .

Значение определяется путем деления изменчивости между выборками на k—1, т, е. на число степеней свободы между выбор­ами. Из k значений можно выбрать по случайному закону только

k-1 значений, но после их выбора значение будет определяться средним значением оставшейся выборки, Смысл термина «дисперсия между выборками» станет понятен, если вспомнить смысл термина «дисперсия среднего значения». Предположим, что сделано k выборок объемом n и значения являются средними значениями этих выборок. Тогда можно рассматривать как выборку объемом k, взятую из генеральной совокупности всех возможных средних значений выборок объемом n. Общая средняя арифметическая может быть подсчитана с помощью (2.53), следовательно выражение:

является наилучший оценкой - дисперсии генеральной совокупности всех возможных средних значений выборок объемом n. Но, как известно, , а это означает, что выражение является наилучшей оценкой ²/n или является наилучшей оценкой ². Поэтому, чтобы дисперсия была несмещенной оценкой ², ее следует рассчитывать по формуле

(3.4)

Значение же получается делением изменчивости внутри выборок на N-k. Так как для каждой из выборок одна степень свободы оказывается потерянной, а общее число выборок равно k, то v=N-k.

Тогда

(3.5)

Хотя значения всех рассматриваемых трех оценок могут отличаться друг от друга (для конкретного множества наблюдений), все они являются несмещенными оценками -дисперсий генеральной совокупности, из которой взяты выборки.

Таблица 3.2

Источник дисперсии	Схема квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия
Между выборками
Внутри выборок
Общая

Таким образом, сумма квадратов отклонений A₁+A₂ и общее число степеней свободы N— 1 делятся на две составляющие. Одна составляющая основана на дисперсии частных средних вокруг общего среднего х, а другая — на дисперсиях внутри выборок.

Если на выборочные наблюдения не оказывают влияния опреде­ленные факторы, то обе оценки дисперсий не отличаются друг от друга. Это можно проверить с помощью F-критерия, а именно .

Пример 3.2[21]. Исследование технологических характеристик изготовления пластмассовой детали.

Эксплуатационные характеристики пластмассовых деталей в значительной степени зависят от технологического процесса изготовления.

В частности, по назначению в конструкции пластмассовая деталь испытывает силовую нагрузку и должна сохранить работоспособность в течение всего срока службы. Это требует соблюдения строгой технологической дисциплины при изготовлении детали, режим которого должен быть близким к оптимальному. Задача технолога – выбрать этот режим из числа комбинаций уровней факторов, которые были использованы в эксперименте. Выходной параметр – минимальная сила разрушения детали в ньютонах в таблице приведена в кодированном виде.

Время выдержки детали в прессформе, сек	Температура пресс - формы
	2200		2400		2800
	Давление
	1	2	1	2	1	2
180	-24; -23; -20; -19; -22; -21;	-20 -17 -18 -22 -21 -20	-6 -7 -7 -13 -4 -10	-10 -8 -7 2 -1 -5	-11; -5 -3; -9 -7; -8	-2; 2 0; 6 -1; 1
210	-19 - 18 -21 -15 -17 - 16	-11 -13 -12 -15 -14 -10	-6; 11 9; 2 13; 7	16; 23 22; 21 19; 17	10; 11 15; 10 9; 8	11; 10 13; 15 12; 9

Результаты экспериментов показаны ниже.

Анализ результатов расчетной и графической части позволяет сделать следующие выводы.

1. Наиболее важным, влияющим фактором является температура пресс – формы ( Tpressform), затем время выдержки.

2. Максимальная прочность достигается при температуре 240⁰ и времени выдержки 210 секунд.