2.7. Выборочный метод

При решении многих задач нет необходимости иметь исчерпы­вающую характеристику случайной величины - её закон распределения. Часто бывает достаточно указать отдельные числовые характеристи­ки случайной величины, отражающие некоторые её существенные свойства, например, среднее значение , вокруг которого группируют­ся возможные значения случайной величины; s, характеризующее степень разбросанности возможных значений вокруг среднего и др. Как уже было отмечено ранее математическим ожиданием случайной величины x называется её среднее значение (с допущением) и вычисляется по формуле

; (2.28)

Дисперсией

(2.29)

где S – выборочное s.

Объективно существующие закономерности наиболее рельефно проявляются при массовом воспроизведении процессов, в которых эти явления протекают.

В основе методов определения статистических характеристик слу­чайных величин лежит закон больших чисел, согласно которому при большом объеме экспериментов возможные отклонения (экспери­ментальные) от объективно существующего математического ожидания малы.

Из генеральной совокупности (например, 20 000 шт.) извлекают n объектов; n - объем выборки. Эту выборку исследуют и по его результатам описывают всю генеральную совокупность N.

Полученные опытные оценки , отличаются от и

При определении s по данным измерений погрешность определения выборочного зависит от коли­чества n, измеренных деталей. Учитывая это обстоятельство, пользуемся форму­лой;

(2.30)

Таблица 2.3

n	, %	p	n	, %	p
25	42	1,4	200	15	1,15
50	30	1,3	300	12,2	1,12
75	25	1,25	400	10,6	1,11
100	21	1,2	500	10,0	1,10

2.8. Определение требуемого числа наблюдений параметров

На практике часто возникает вопрос, какое число наблюдений параметра х надо иметь, чтобы определить среднее значение (оценку математического ожидания М*(х)) с ошибкой, не превышающей заданного значения . Для ответа на этот вопрос примем гипотезу о нормальном распределении оценки М*(х) и воспользуемся ранее полученной формулой (2.24).

Возведя обе части этого выражения в квадрат, можно получить

(2.31)

В этом случае  =  — допустимая ошибка в определении среднего значения параметра, т.е. разница между оценкой M*(x) и истинным значением математического ожидания М(х), которая еще допускается.

На практике этой формулой следует пользоваться следующим образом:

а) если (х) известна априорно, то зная вероятность  и ошибку , формулой можно воспользоваться сразу и определить требуемое число наблюдений;

б) если значение (х) априорно не известно, то выполняют некоторое число наблюдений параметра n₁, подсчитывают *(х) и проверяют, выполняются ли условие ( 2.31). Если условие выполняется, то проведенное число наблюдений n₁ уже достаточно, в противном случае выполняют дополнительные наблюдения, уточняют значение *(х) и снова проверяют условие (2.31). Так поступают до тех пор, пока это условие не будет выполнено.

Пример2.2. Определим, какое число наблюдений необходимо иметь, чтобы гарантировать среднее значение параметра Х с погрешностью не более 0,5 , если допуски на величину параметра Х_max-Х_min = 8-3 , т.е. δ_х = 5.

Решение. Задаемся доверительной вероятностью, с которой будет гарантировано среднее значение параметра. Выберем γ = 0,95. Тогда t_γ =1,96 ≈ 2. Так как закон распределения параметра Х не известен, принимаем гипотезу о равномерной модели ( наихудший случай). Определим значение σ_х

Т.о. σ_х = 1,445; тогда . Если предположить закон нормального распределения, то n = 11, (т.к. для нормального распределения Х ±3 σ_х= 5\6 = 0,83).

ГЛАВА 3.

МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ.

1. Расчетно-статистический метод оценки

точности

Как было указано выше, большое количество различных причин приводит к возникновению систематических, закономерно изменяющихся, случайных погрешностей, которые в сумме образуют погрешность выходных параметров в генеральной совокупности. В этих условиях выходной параметр является функцией как случайных так и не случайных аргументов. Математической характеристикой такой величины, пригодной для целей исследования точности, является закон ее распределения, а также другие показатели математической статистики и теории вероятностей. Для целей практического использования указанных инструментов рассмотрим их подробнее.

Основными задачами математической статистики, применительно к решению рассматриваемых вопросов, являются следующие:

• определение математических ожиданий (средних значений параметров);

• нахождение характеристик разброса (рассеивания, отклонения) параметров;

• выявление законов распределения параметров;

• статистическая проверка гипотез.

Наиболее распространенным в инженерной практике является расчетно – статистический метод.

Порядок использования расчетно – статистического метода.

При статистическом анализе точности необходимо соблюдение следующих требований:

1. для анализа необходимо брать детали, изготовленные при стабильных условиях, т.е., например, если это механическая обработка, то одним инструментом, при одной настройке;

2. число деталей в опытной партии должно быть значительным (выбирается для каждого случая конкретно с помощью метода, рассмотренного выше). Чем больше взято деталей для анализа, тем с большей достоверностью будут определены характеристики распределения;

3. измерение деталей должно выполняться инструментом, с погрешностью δ_и = ( 0,2…0,5) δ, где δ – допуск на измеряемый размер.

Покажем на примере использование расчетно–статистического метода.

Пример 3.1. На автомате по настройке была изготовлена партия роликов D=20_-0,2, в количестве 100 штук. Размеры деталей представлены в таблице, а результаты расчета в компьютерной распечатке.

19,93 19,87 19,97 19,89 19,95 19,92 19,94 19,89 19,95 19,93

19,97 19,92 19,93 19,86 19,88 19,95 19,88 19,94 19,93 19,94

19,96 19,94 19,92 19,87 19,93 19,89 19,95 19,93 19,94 19,94

19,92 19,96 19,89 19,92 19,94 19,93 19,93 19,94 19,95 19,88

19,97 19,96 19,95 19,88 19,92 19,95 19,89 19,94 19,92 19,95

19,92 19,97 19,95 19,93 19,89 19,92 19,95 19,88 19,91 19,97

19,91 19,96 19,93 19,91 19,90 19,91 19,92 19,90 19,96 19,90

19,90 19,93 19,97 19,90 19,88 19,91 19,97 19,92 19,91 19,91

19,90 19,89 19,91 19,90 19,97 19,91 19,89 19,91 19,92 19,91

19,90 19,88 19,90 19,92 19,90 19,98 19,91 19,99 19,91 19,92

Величина вероятного брака дана в распечатке ( 0,3922%).

На графике, с правой стороны, представлены ряд коэффициентов, которые могут быть использованы для анализа точности. В частности С_р – коэффициент годности

С_р = Т/C = Т/ 6σ

где : Т – поле допуска; 6σ – поле рассеивания.

Считается [ 14 ], что если С_р > 1,33 – процесс в удовлетворительном состоянии;

1 ≤С_р ≤ 1,33 – процесс отвечает предъявляемым к нему требованиям; С_р< 1- процесс не отвечает предъявляемым к нему требованиям. С_рк – является аналогичным односторонним признаком; Коэффициент смещения К -

где ∆ - абсолютное смещение среднего значения контролируемого параметра от начала координат.

Расчетно – статистический метод широко используется в инженерной практике, т.к. характеризуется простотой, оперативностью и позволяет получить значительную по объему и содержанию информацию о точности исследуемого процесса. Существенным недостатком метода является невозможность получить информацию о причинах погрешностей, также как измерение температуры у больного говорит о том, болен или здоров пациент, но наличие температуры не говорит о причине заболевания.