2.5. Пути вероятностного описания совокупности параметров

Ранее было показано, что для вероятностного описания па­раметров, рассматриваемых в отдельности, можно использовать характеристики m , где — i-й первичный пара­метр (в случае функции и его текущие значения).

В конструировании и технологии приборостроения в большинстве случаев приходится иметь дело с совокупностью параметров. Они могут быть независимыми и зависимыми.

Возникает вопрос, как на практике с вероятностной точки зрения описать совокупность параметров,

Наиболее полной характеристикой такого вероятностного описания является многомерная функция плотности распределе­ния f(x-i, ..., Хп.), i = 1 ... n, где п — число параметров рассмат­риваемой совокупности.

Из теории вероятностей известно, что

Это выражение справедливо для независимых параметров. Поэтому для совокупности независимых параметров можно поль­зоваться вероятностным описанием этих параметров, рассматри­ваемых в отдельности, т.е. характеристиками .

Для зависимых параметров указанное выше выражение не­справедливо. Поэтому для вероятностного описания их совокупно­сти следовало было бы пользоваться многомерной функцией или различными модификациями условных функций.

Однако даже в случае двух параметров (п=2) мы столкну­лись бы со сложностями математического характера, так как представляет собой поверхность, а условная функция — семейство кривых.

Поэтому на практике возникает вопрос, как из многомерных или услов­ных функций извлечь информацию о зависимости параметров в форме, удобной для инженерного использования. Выход может быть най­ден путем введения такого понятия, как коэффициент корреля­ции между параметрами (рассмотрен в 3.4 ).

2.6. Точечные и интервальные оценки параметров

В инженерной практике для различных целей используют точечные и интервальные оценки параметров. Точечной на­зывают такую оценку, которая представляется одним числом, т.е. точкой на числовой оси. Интервальной называют оценку, пред­ставленную интервалом значений.

К оценкам предъявляются следующие основные требования:

а) с увеличением числа наблюдений оценка параметра должна приближаться к истинному его значению. Оценку, от­вечающую этому свойству называют состоятельной;

б) вычисляя оценку параметра, мы должны быть уверены в том, что заведомо не совершаем ошибку в сторону уменьшения или увеличения оценки, т.е. должны быть уверены в отсутствии систематической ошибки. Оценка, отвечающая этому свойству, называется несмещенной;

в) расхождения между опенками параметра, подсчитанными по результатам n наблюдений, взятых из любого участка теоре­тически возможного числа наблюдений N, должны быть мини­мальными. Другими словами, дисперсия оценки должна быть минимальной. Оценку, отвечающую этому свойству, называют эффективной.

Определение точечных оценок математических ожиданий и средних отклонений параметров.

Пусть произведено n наблюдений параметра х и получены значения Определим точечную оценку для матема­тического ожидания и среднего квадратичного отклонения этого параметра, причем оценки должны отвечать указанным выше требованиям.

Из теории вероятностей известно, что такие оценки могут быть подсчитаны с помощью выражений

(2.20)

(2.21)

Здесь, а при необходимости и далее, оценки будут помечаться, где это важно, где это необходимо подчеркнуть, обозначением параметра или характеристики σ(х)_в , m(х)_в или – выборочная характеристика, или σ(х)_г.с. , m(х)_г.с.- для генеральной совокупности. Иногда в литературе выборочную σ(х)_в обозначают как S_в. Величину (n – 1) в знаменателе формулы (2.21) называют числом степеней свободы.