2.3. Закон равной вероятности

Равномерное распределение – такое распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах. Такой закон характерен для суммарной погрешности с доминирующим фактором – например, износом инструмента.

Дифференциальный равномерный закон распределения имеет вид:

(2.16)

где a и b – параметры закона, определяющие пределы изменения случайной величины х.

Рис. 2.4. Закономерно изменяющаяся погрешность и закон ее распределения.

Кривая распределения для этого закона имеет вид прямоугольника. Если предположить, что при обработке на точность оказывает только размерный износ инструмента, а влияние других факторов незначительно или отсутствует, то такая кривая будет характеризовать распределение размеров для всех заготовок партии. Для закона равной вероятности: уравнение плотности вероятности

; математическое ожидание ; поле рассеивания . (2.17)

Помимо перечисленных на практике встречаются другие распределения, такие как закон Симпсона (который имеет место, когда закономерно изменяющаяся погрешность не линейна и замедленно возрастает в течение первой половины времени и ускоренно в течение второй, по параболе второй степени), усеченная нормальная и логарифмически нормальная модели, другие. Вероятность безотказной работы изделия чаще всего подчиняется экспоненциальному закону, а вероятность появления в партии бракованных изделий – законами редких событий (биноминальным, Пуассона). Во всех случаях следует использовать методы проверки статистических гипотез, позволяющие доказать принадлежность данного распределения.

2.4. Критерий Пирсона

Для проверки гипотезы о соответствии экспериментального закона распределения случайной величины теоретическому наиболее часто применяют критерий Пирсона или, как его иначе называют, критерий χ² («хи-квадрат»), так как принятие и отклонение гипотезы основаны на χ² - распределении. Предположим, что имеется статистический ряд наблюдений над случайной величиной х. Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет предполагаемый закон распределения, заданный интегральной функцией распределения F(x) или плотностью вероятностей f(х), который в дальнейшем будем называть теоретическим законом распределения. Первоначально статистический ряд разбивают на k интервалов и подсчитывают число значений случайной величины Х в каждом интервале. В результате получают экспериментальный ряд частот: . Следует сразу оговорить, что предпосылкой применения критерия χ² является достаточная заполненность интервалов частотами. На практике рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5...10 наблюдений. Если число наблюдений в отдельных интервалах мало, имеет смысл объединить эти интервалы. Исходя из предполагаемого теоретического закона распределения вычисляют частоты m, в тех самых интервалах, на которые разбит статистический ряд. В результате получают теоретический ряд частот в k интервалах . Для проверки согласованности теоретического и экспериментального распределения подсчитывают меру расхождения:

(2.18)

и число степеней свободы v. Число степеней свободы равно числу интервалов k минус число ограничений f.

(2.19)

Число ограничений равно числу параметров в рассматриваемом законе распределения, увеличенному на единицу. Например, для Гауссовского закона имеется два параметра: [М(х) и σ]; в этом случае число ограничений равно трем.

Для распределения χ² составлены специальные таблицы [7]. Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения ² и числа степеней свободы v определить вероятность Р того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и экспериментального распределений будет меньше, чем фактически наблюдаемое в данной серии опытов значение χ². Если эта вероятность Р мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения величины Х есть F(x). Эту гипотезу следует отбросить как неправдоподобную. Напротив, если вероятность Р сравнительно велика, можно признать расхождение между теоретическим и экспериментальным распределениями несущественным и отнести его за счет случайных причин. Гипотезу о том, что величина Х распределена по закону F(x), можно считать в этом случае правдоподобной, по крайней мере не противоречащей полученным экспериментальным данным. В таблицах входами являются значение χ² и число степеней свободы v. Числа, стоящие в таблице, представляют соответствующие значения Р. Насколько должна быть мала вероятность Р для того, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу,— вопрос неопределенный. Он не может быть решен из математических соображений, а должен базироваться на априорных сведениях о физической сущности изучаемого процесса. На практике, если Р < 0,1, рекомендуется проверить эксперимент, если возможно — повторить его. В случае появления повторных расхождений следует попытаться найти наиболее подходящий для описания экспериментальных данных закон распределения.