31

5.11. Метод гармонической линеаризации Поскольку этот метод является приближённым, то полученные результаты будут близки к истине только при выполнении определённых допущений:

1. Нелинейная система должна содержать только одну нелинейность;

2. Линейная часть системы должна представлять собой фильтр низких частот, ослабляющий высшие гармоники, возникающие в предельном цикле;

3. Метод применим только к автономным системам.

5.11.1. Назначение и сущность метода; гипотеза фильтра

Метод позволяет исследовать возможность появления автоколебательных режимов, определить основные параметры автоколебаний (A, ω_а),

качественно оценить влияние нелинейностей на устойчивость и переходные процессы в системе, как устранить автоколебания или же как изменить их параметры в желаемом направлении.

Сущность метода гармонического баланса заключается в замене нелинейного элемента эквивалентным линейным, передаточный коэффициент которого не является постоянным, а зависит в общем случае от амплитуды и частоты искомых автоколебаний.

Рассматривается замкнутая система с одним НЭ (рис. 5.35). Изучается свободное движение системы, то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий. В системе возможно возникновение автоколебаний. При этом z(t)- периодическая функция, содержащая спектр гармонических составляющих.

r(t)=0

ε(t)

z(t)

y(t)

F(ε)

W_л(p)

+

-

Рис. 5.35. Структурная схема системы с одним нелинейным элементом

Если при прохождении через линейную часть системы z(t) фильтруется так, что можно пренебречь всеми гармониками выше первой, то анализ системы можно вести методом гармонического баланса. Это предположение- необходимое условие применения метода гармонической линеаризации, его называют гипотезой фильтра, введено Е.П. Поповым. Поскольку высшие гармоники по амплитуде обычно меньше, чем первая гармоника, а линейная часть САУ узкополосная, устойчивая (могут быть нулевые корни характеристического уравнения линейной части), отсутствуют резонансные звенья, |W(jω_a)| >>|W(jkω_a)| при k >1, то во многих практических случаях гипотеза фильтра выполняется. Для приближённых расчётов последнее условие может быть смягчено и сформулировано так: наклон ЛАЧХ линейной части должен быть по крайней мере от -20 до -40 дБ/дек на частоте автоколебаний ω_а и выполнены неравенства:

при наклоне ЛАЧХ , ,

-20 дБ/дек

при наклоне ЛАЧХ , .

-40 дБ/дек

2. Гармоническая линеаризация нэ

При гармонической линеаризации нелинейные элементы заменяются их линейными моделями, полученными в результате изучения реакций на гармонические входные сигналы.

На вход нелинейного элемента подаётся гармонический сигнал ε(t)=A·sinωt , выходная функция z(t)=F(A·sinωt)- периодический (не гармонический) сигнал (рис. 5.36).

Ограничимся рассмотрением безынерционных НЭ с петлевыми нечётносимметричными статическими характеристиками (простейшие НЭ).

Рис.5.36. Преобразование входного гармонического

сигнала простейшим НЭ

Разложим z(t) в ряд Фурье

(5.72)

где при усреднении по фазе и замене

- постоянная составляющая выходной функции,

- амплитуда синфазной составляющей z(t),

- амплитуда квадратурной составляющей z(t).

Выходной сигнал НЭ может быть представлен своей первой гармоникой, так как статическая характеристика НЭ нечетная ( ) и выполняется гипотеза фильтра:

, (5.73)

где , .

Сделав замену получим

, где - оператор (5.74) дифференцирования по времени,

- коэффициенты гармонической линеаризации НЭ.

Преобразования по Лапласу выходной функции и входного воздействия имеют вид

, (5.75)

, где р – оператор Лапласа.

По аналогии с линейным звеном свойства нелинейного элемента можно представить передаточным коэффициентом, называемым эквивалентным комплексным передаточным коэффициентом НЭ (эквивалентной передаточной функцией, описывающей функцией).

Определим эквивалентную передаточную функцию:

, (5.76)

преобразование Фурье - эквивалентная частотная функция, которая зависит от амплитуды входного сигнала.

Таким образом, нелинейный элемент может быть заменен линейным; этот прием получил название гармонической линеаризации нелинейностей.

Эквивалентная структурная схема НЭ приведена на рис. 5.37.

Рис. 5.37. Эквивалентная структурная схема НЭ

Если статическая характеристика НЭ однозначная (не петлевая), то .

Наряду с рассмотренными встречаются такие нелинейные элементы, у которых выходной сигнал является функцией входного воздействия и его производной, т.е. z=F(Asinψ, Aωcosψ). В таких случаях первая гармоника периодических колебаний на выходе зависит не только от амплитуды, но и от частоты синусоидальных колебаний на входе.

Приведём операторную запись во временной области, используя эквивалентный оператор нелинейного элемента:

z=[q(A,ω) + q´(A,ω)· ·p] ·ε , где p≡ . (5.77)

Такие элементы называются непростейшими. Коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависимыми не только от амплитуды, но и от частоты и в случае нескольких простейших нелинейных элементов, между которыми располагаются инерционные звенья.