5.7. Линеаризация нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями в форме Коши
Метод применяется для исследования устойчивости нелинейных систем по линеаризованным уравнениям для малых вариаций переменных.
Применим первый метод Ляпунова к дифференциальным уравнениям в пространстве состояний нелинейных систем.
Пусть динамическая система описывается уравнением
(5.39)
где
x - вектор состояния,
- вектор-функция.
Обозначим через
x* вектор
координат исследуемого положения
равновесия, т.е. решение системы уравнений
,
и положим, что функция
допускает разложение в ряд Тейлора в
точке x*.
Пренебрегая малыми высшего порядка по
сравнению с малыми вариациями
x,
получим вместо уравнения (5.39) линеаризованную
систему
,
(5.40)
где
-
- матрица первых производных нелинейной функции (матрица Якоби), вычисляемых в точке равновесия x=x* (рис.5.20).
Рис.5.20. Линеаризация в окрестности положения равновесия
Согласно первому методу Ляпунова об устойчивости “в малом” положения равновесия нелинейной системы можно судить по результатам анализа линеаризованной системы:
если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, т.е. линеаризованная система устойчива асимптотически, то положение равновесия устойчивое;
если линеаризованная система неустойчива, то положение равновесия неустойчивое.
Первый метод Ляпунова имеет следующие недостатки:
исследуется только устойчивость «в малом»;
применим только для систем, линеаризуемых в окрестности положения равновесия.
Если требуется
провести линеаризацию уравнения движения
системы относительно опорной траектории
,
являющейся решением уравнения
(5.41)
п
ри
некотором входном сигнале
и начальных условиях ,
т.е.
(5.42)
то
поведение x(t)
нелинейной системы в окрестности опорной
траектории может быть представлено с
помощью отклонений (вариаций)
x(t)
от опорной траектории:
(5.43)
Подставляя
(5.43) в (5.41), имеем
,
(5.44)
где
-
вариация внешних воздействий,
Разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности опорной траектории, ограничимся членами только первого порядка (линейными членами) и вычтем (5.42) из (5.44), получим, что вариации x(t) описываются системой линейных уравнений:
, (5.45)
,
где
и
- матрицы частных производных вектор-функции
F(t,x,r)
по соответствующим аргументам,
Дальнейший анализ нелинейной системы в окрестности опорного режима проводится методами анализа линейных систем, применяемыми к уравнениям в вариациях (5.45).
Пример 5. 3.
Проведем исследование устойчивости положения равновесия
системы с нелинейным демпфированием с помощью первого
метода Ляпунова.
Математическое описание системы в форме Коши имеет вид
Положение равновесия
Так как
то согласно (5.40) матрица
.
Линеаризация дает систему уравнений для малых отклонений, которую представим в векторно-матричной форме:
Собственные значения (характеристические числа) квадратной матрицы - корни уравнения
,
т.е. линеаризованная система находится на границе устойчивости. Согласно теоремам Ляпунова первого метода в этом критическом случае об устойчивости положения равновесия исходной нелинейной системы нельзя судить по линеаризованным уравнениям.