5.4. Расчетные структурные схемы нелинейных систем

Класс нелинейных моделей очень широк, что чрезвычайно затрудняет их единообразное описание и возможность использования универсальных методов анализа и синтеза. Поэтому при разработке методик исследования автоматических систем управления по нелинейным моделям выбираются расчетные формы моделей, к которым, по возможности, приводят исходные модели. Основными критериями при выборе расчетных форм нелинейных моделей являются:

• широта класса автоматических систем, моделируемых принятыми типами моделей;

• удобство последующего анализа и простота эквивалентного приведения к этому виду других нетиповых исходных моделей.

Рис. 5.17. Расчетная структурная схема нелинейной системы

Большая группа точных и приближенных методов исследования автоматических систем на основе нелинейного подхода использует типовую структурную схему, приведенную на рис. 5.17.

В качестве дополнительного ограничения этого расчетного вида математических моделей обычно принимают безынерционность единственного нелинейного элемента с одним входом и одним выходом.

Динамические свойства системы сосредоточены в линейной части с передаточной функцией

(5.29)

По структурной схеме запишем систему уравнений:

(5.30)

где - оператор дифференцирования.

Для автономной системы воздействие тождественно равно нулю, тогда уравнения (5.30) приводятся к виду

Уравнения линейной части в форме пространства состояний при условии m<n имеют вид

(5.31)

С учетом нелинейного элемента для автономной системы получим следующие уравнения:

(5.32)

Если структурная схема исследуемой системы отличается от расчетной, то в некоторых случаях ее можно преобразовать в расчетную форму. Проблема заключается в том, что в случае нелинейных моделей не всегда применимы правила структурных преобразований линейных систем.

5.5. Устойчивость нелинейных систем

Нелинейные системы в отличие от линейных могут быть устойчивы в одних режимах работы и неустойчивы в других. Различают устойчивость в малом, в большом, в целом.

Движение устойчиво в малом, если условия устойчивости выполняются лишь в малой окрестности равновесия, то есть при малых начальных отклонениях.

Устойчивость “в малом” – понятие качественное, поскольку не оговариваются размеры области притяжения невозмущённого движения. Применение первой теоремы Ляпунова ограничено лишь малой окрестностью точки равновесия.

Если же движение устойчиво при конечных отклонениях, возможных в данной системе по условиям её работы, то его принято называть устойчивым в большом.

Устойчивость “в большом” – понятие количественное (практическое), когда указываются границы переменных относительно равновесного режима (в большой области пространства состояний, прилегающей к точке равновесия).

Движение устойчиво в целом (глобальная устойчивость), если оно устойчиво при любых начальных отклонениях, то есть не зависит от них.

В этом случае область притяжения совпадает со всем пространством состояния. Асимптотическую устойчивость “в целом” для класса нелинейностей называют абсолютной устойчивостью.