5.2.2. Динамические нелинейные звенья сау

В общем случае дифференциальные уравнения, описывающие элементы систем, являются нелинейными

. (5.9)

Иногда они разрешаются относительно старшей производной переменной выхода

(5.10)

Часто дифференциальные уравнения представляются в форме Коши:

(5.11)

где х – вектор переменных состояния; -вектор-функция; - функция выхода. В уравнениях (5.9-5.11) предполагается, что нелинейные функции заданы аналитически.

Преобразование сигналов динамическими нелинейными элементами в значительной степени зависит как от уровней сигналов, так и от их частотных спектров.

Во многих случаях нелинейное динамическое звено представляется в форме линейной модели и дополнительного нелинейного элемента, учитывающего такие естественные факторы, как ограниченность управляющих воздействий, наличие зоны нечувствительности в измерительных и исполнительных элементах, люфтов в кинематических сочленениях или искусственное введение нелинейностей в алгоритмы управления для получения свойств, не достижимых в линейных системах.

Простейший пример такой модели – нелинейный интегратор

(5.12)

структурно изображается как последовательное соединение безынерционного нелинейного элемента и линейного интегрирующего звена (рис. 5.11).

Рис. 5.11. Нелинейный интегратор

В этом примере нелинейные эффекты сосредоточены в безынерционном элементе, а динамические – в линейном элементе.

5.3. Определение статических характеристик систем

с типовой структурой

Структуры систем называют типовыми, если они образованы последовательным или параллельным соединением звеньев, а также одноконтурные системы со встречно-параллельным соединением двух звеньев.

1. Эквивалентные статические характеристики последовательно соединенных звеньев.

Последовательное соединение нелинейных элементов (рис. 5.12) эквивалентно одному нелинейному элементу со статической характеристикой

, (5.13)

являющейся композицией статических характеристик составляющих звеньев:

. (5.14)

Рис. 5.12. Последовательное соединение нелинейных элементов

В общем случае перестановка нелинейных элементов дает другой результат (нелинейные операторы не коммутативны), т.е.

. (5.15)

Например, при последовательном соединении идеального реле и линейного безынерционного звена с передаточным коэффициентом k>0 (линейный усилитель предшествует реле) статическая характеристика последовательного соединения звеньев повторяет в точности статическую характеристику реле:

, (5.16)

если же звенья переставить, то

. (5.17)

Бывают исключения, когда нелинейные преобразования коммутативны. Так, в случае взаимно обратных НЭ, когда графики статических характеристик симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов при одинаковом масштабе по осям абсцисс и ординат, имеем:

(5.18)

Если статические характеристики последовательно соединенных нелинейных элементов заданы графически, то достаточно просто строится статическая характеристика эквивалентного нелинейного элемента (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Процедура построения статической характеристики последовательного соединения нелинейных звеньев