5.1. Определение нелинейных систем и их технические характеристики

Нелинейной называется такая система, для которой не применим принцип суперпозиции из-за наличия в дифференциальном уравнении степеней, тригонометрических функций, произведений переменных, звеньев с нелинейными статическими характеристиками и других нелинейных членов.

Реальные САУ нелинейны. Нелинейности подразделяют на линеаризуемые (несущественные) и нелинеаризуемые (существенные). Использование аппарата линейной теории для целей анализа и синтеза систем автоматического управления следует считать целесообразным, если при этом не допускается принципиальных качественных ошибок, а также если количественные погрешности не выходят за рамки допустимых пределов.

Различают статические и динамические нелинейности. Первые описываются нелинейными алгебраическими уравнениями, а вторые представляются в виде нелинейных дифференциальных уравнений.

Нелинейным автоматическим системам присущи принципиально новые свойства в динамике, которые отсутствуют у линейных:

1. К нелинейным системам не применим принцип суперпозиции;

2. Устойчивость и качество переходных процессов в нелинейных системах зависят от степени возмущения и начальных условий;

3. Возможность возникновения в них автоколебаний (предельных циклов) в общем случае несинусоидальных, амплитуда которых не зависит от внешних воздействий и начальных условий;

4. Частота вынужденных колебаний на выходе системы может быть либо субгармоникой, либо гармоникой входного периодического сигнала;

5. Явление скачкообразного резонанса (рис. 5.1);

Рис. 5.1. АЧХ системы с явлением скачкообразного резонанса

6. Множество состояний равновесия;

7. Конечная длительность процессов, чему способствуют зоны нечувствительности элементов, сухое трение и люфты (зазоры кинематических сочленений);

8. Ограниченность уровней переменных энергетическими, материальными, прочностными ресурсами.

В нелинейных системах следует исследовать не устойчивость вообще, а устойчивость определённого их режима.

Чтобы судить о свойствах нелинейных систем, кроме математических и физических характеристик элементов необходимо знать вид и величины входных воздействий и область начальных условий.

Появление нелинейности в системе с линейной структурой обычно приводит к снижению качества работы последней.

5.2. Математическое описание нелинейных элементов

5.2.1. Безынерционные нелинейные элементы

В теории и практике управления объекты управления рассматривают как преобразователи сигналов-носителей информации о цели функционирования объекта, его состоянии и воздействиях окружающей среды.

Если безынерционный элемент линейный, то он описывается полностью значением передаточного коэффициента.

Нелинейные зависимости между постоянными значениями входных и выходных сигналов

(5.1)

задаются аналитически, графически или таблично.

В том случае, когда нелинейный элемент имеет один вход и один выход (рис. 5.2) особенно наглядны графики статических характеристик (рис. 5.3).

F(x)

x

y

Рис. 5.2. Элемент системы как преобразователь сигналов

Рис. 5.3. Пример статической характеристики нелинейного элемента

Условия преобразования сигналов безынерционными нелинейными элементами зависят от уровней сигналов и не зависят от их частоты.

Примеры наиболее распространённых (типовых) нелинеаризуемых по методу малых отклонений нелинейных характеристик безынерционных элементов:

1. Двухпозиционное реле (звено с релейной характеристикой). Описать линейной зависимостью элемент с такой рабочей характеристикой невозможно, так как в рабочей точке имеется разрыв (рис. 5.4).

Уравнение элемента:

(5.2)

Рис. 5.4. Статическая характеристика двухпозиционного реле

2. Трёхпозиционное реле (звено с релейной характеристикой и зоной нечувствительности) (рис. 5.5).

Уравнение звена имеет вид

(5.3)

Рис. 5.5. Статическая характеристика

трехпозиционного реле

3. Ограничение (звено с характеристикой типа «насыщение») (рис. 5.6).

Необходимость исследования поведения системы «в большом» заставляет рассматривать характеристики элементов при больших значениях входных воздействий. В этом случае элемент может оказаться нелинейным, хотя и является линеаризуемым «в малом».

Уравнение элемента:

(5.4)

Рис.5.6. Статическая характеристика типа «ограничение»

4. Зона нечувствительности (элемент с зоной нечувствительности) (рис. 5.7).

Уравнение элемента:

(5.5)

Рис.5.7. Статическая характеристика элемента с зоной нечувствительности

5. Ограничение с зоной нечувствительности (рис. 5.8).

Уравнение звена:

(5.6)

Рис.5.8. Статическая характеристика элемен-

та с зоной нечувствительности и ог-

раничением

6. Двухпозиционное реле с зоной возврата (элемент с петлей гистерезиса) (рис. 5.9).

Уравнение элемента:

(5.7)

Рис.5.9. Статическая характеристика двухпозиционного реле с зоной возврата

7. Трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и зоной возврата (элемент с зонами нечувствительности и неоднозначности) (рис. 5.10).

Уравнение элемента:

(5.8)

Рис.5.10. Статическая характеристика трёхпозиционного реле с зоной

нечувствительности и зоной возврата