В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая переменная

Третий, чуть более сложный тип уравнения, допускающий понижение порядка. Я не буду рисовать общих формул – отличительная особенность данного диффура состоит в том, что в нём в явном виде отсутствует независимая переменная «икс». То есть, в исходном дифференциальном уравнении нет «икса». Вообще нет. Ни одного. Нигде.

Пример 9

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям  ,  , 

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная  . Подстановка здесь более замысловата. Первую производную   заменим некоторой пока ещенеизвестной функцией  , которая зависит от функции «игрек»:  . Обратите внимание, что функция   – это сложная функция. Внешняя функция – «зет», внутренняя функция – «игрек» («игрек» сам по себе является функцией).

Находим вторую производную. По правилу дифференцирования сложной функции:

Учитывая, что  , окончательно получаем: 

В принципе, можно запомнить данную замену формально и коротко:

Другой вопрос, что студентам часто не понятно, почему в замене такая странная вторая производная:  , «совершенно же очевидно, что должно быть  ». А вот, оно, и не очевидно. Почему  , я только что подробно прокомментировал.

Итак, в исходном уравнении   проведём нашу замену:

Цель замены – опять же понизить порядок уравнения:

Одно «зет» сразу сокращаем:

Получено уравнение с разделяющимися переменными. Если   – функция, зависящая от «игрек», то первая производная в дифференциалах расписывается так: . Не допускаем машинальной ошибки – не пишем «привычное»  !!!

Разделяем переменные и интегрируем:

Проведем обратную замену  :

Как и в первом параграфе, константу целесообразно отстрелить незамедлительно, это значительно упростит дальнейшее интегрирование.

Используем оба начальных условия одновременно:  , 

В полученное уравнение   подставим   и  :

Таким образом:

Дальнейшее просто:

Вторую константу тоже отстреливаем. Используя начальное условие  , проводим подстановку  :

Таким образом: 

Выразим частное решение в явном виде:

Ответ: частное решение: 

Кстати, ответ легко проверяется.

Для закрепления материала пара заключительных примеров.

Пример 10

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям  ,  , 

Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная  . Еще здесь нет первой производной, но это не должно смущать – важно, что нет «иксов», а значит, используется стандартная замена:

Таким образом, степень уравнения понижена до первого порядка:

Разделяем переменные и интегрируем, не забывая, что  :

Переобозначим константу   через  : .

Проведём обратную замену  :

Используем одновременно оба начальных условия  ,   и найдём значение константы  . Для этого в полученное уравнение   подставим   и :

Таким образом:

Разделяем переменные и интегрируем:

В соответствии с начальным условием  : 

Окончательно:   или 

Ответ: частное решение: 

Пример 11

Найти решение задачи Коши. ,  , 

Это пример для самостоятельного решения.

Обратите внимание, что все три примера последнего параграфа идут с задачей Коши. Это не случайно. Специфика рассмотренного типа дифференциальных уравнений такова, что если предложить найти общее решение, то в большинстве уравнений нарисуются сложные,  вычурные, а то и вообще неберущиеся интегралы. Поэтому практически всегда вам будет предложено найти частное решение.

Существуют еще некоторые типы диффуров, допускающие понижение порядка, но на практике они мне ни разу не встречались, хотя я перерешал очень много дифференциальных уравнений. Поэтому в урок были включены только те примеры, которые вам могут встретиться реально.

А сейчас пора весить ружье на гвоздь и идти пить чай.

Удачного понижения степеней дифференциальных уравнений!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Преобразуем уравнение:  Данное ДУ имеет вид  . Дважды интегрируем правую часть: Ответ: общее решение: 

Пример 4: Решение: Преобразуем уравнение:    Данное уравнение имеет вид  . Трижды интегрируем правую часть: В соответствии с начальным условием: В соответствии с начальным условием: В соответствии с начальным условием: Ответ: частное решение: 

Пример 6: Решение: В данное уравнение в явном виде не входит функция  , проведем замену:  Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. Используем метод вариации произвольной постоянной. Решим вспомогательное уравнение: Разделяем переменные и интегрируем: В неоднородном уравнении проведем замену: Таким образом: Обратная замена:  Ответ: Общее решение: 

Пример 8: Решение: Проведем замену:  Получено линейное неоднородное уравнение, замена:  Составим и решим систему:  Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение: Таким образом:  Обратная замена:  Дважды интегрируем правую часть: Здесь я немножко схалтурил, интеграл от логарифма берётся по частям, и, строго говоря, последний интеграл нужно расписать подробнее. Ответ: общее решение:  

Пример 11: Решение: В данном уравнении в явном виде не участвует переменная  , проведем замену:  Обратная замена:  В соответствии с начальными условиями  ,  : В соответствии с начальным условием  :  Ответ: частное решение: