Вывод: Уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка

Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:

Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:

Проведем замену: 

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем  :  – подставим найденную функцию во второе уравнение системы:

Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.

Данный интеграл берётся по частям:

Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Таким образом:

Но это ещё не всё, выполняем обратную замену: Если изначально было  , то обратно будет 

В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:

Тривиальное решение   потерялось (это произошло в самом начале при делении на  ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией  ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию  :

Ответ: частное решение: 

Для мастодонтов дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения:

1) проверяем, выполнено ли начальное условие; 2) берём ответ   и находим производную  ; 3) подставляем ответ   и найденную производную   в исходное ДУ – должно получиться верное равенство.

Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку.

Когда я подбирал первый пример для этой статьи, то очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе  , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное.

Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти решение ДУ  , удовлетворяющее начальному условию 

Пример 3

Найти решение задачи Коши , 

Полные решения и ответы в конце урока.

В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде:  .

Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например:

Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого хрена типа этот диффур. То ли уравнение с разделяющимися переменными, то ли уравнение в полных дифференциалах, то ли еще какое-нибудь уравнение.

Интереснейшая задача и новая информация, о которой я до сих пор не рассказывал:

Пример 4

Найти решение ДУ  , соответствующее начальному условию 

Корни, куда же без них.

Решение: Пожалуйста, классический вид   уравнения Бернулли.

По условию требуется решить только задачу Коши, поэтому ось абсцисс   снова идёт лесом.

Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на  :

Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом: Из вышесказанного следует замена:  Найдем производную: , откуда выразим: 

Таким образом:

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:  Составим и решим систему:  .

Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение:

Таким образом:  Обратная замена: если  , то  Общее решение: 

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

…вот тебе и раз. Уравнение   имеет два корня   и в результате получаются… два частных решения  , каждое из которых удовлетворяет начальному условию  . Желающие могут выполнить проверку для обеих функций. Однако зададимся вопросом, а могло ли такое получиться в принципе? Может быть где-нибудь допущена ошибка?

Скорее всего, у многих читателей ещё с 1-го урока сложился стереотип, что частное решение всегда единственно. Это далеко не так. В теории математического анализа строго доказано, что задача Коши имеет единственное решение лишь при выполнении определённых условий (соответствующая теорема формулируется в первых параграфах любого учебника/раздела, посвященного диффурам).

В данном случае условие единственности нарушено, и в точке   пересекаются (именно пересекаются, а не касаются друг друга!) графики многочленов  .

Ответ: начальному условию   соотвествуют два частных решения: 

А сейчас небольшой оффтопик. Надеюсь, вы хорошо изучили раздел «Функции и графики» и представляете, как выглядит типичный график многочлена 4-ой степени. Семейство кривых   (общее решение ДУ) располагается в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в каждой её точке. Образно говоря, множество графиков   (при всех действительных значениях константы) своими точками касания порождает решение  , которое, как заправский партизан засело в чаще леса и в общее решение не вошло.

Такое необычное решение называют особым решением дифференциального уравнения.  В общем случае особое решение тоже представляет собой кривую, которая огибает«основное семейство». В рассмотренном же примере оно больше ассоциируется с «подставкой» под графики функций  .

Потёрто.

Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на 5-ти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, причём у некоторых представителей династии есть серьёзные достижения и в области физики. …Пожалуй, этой информации будет достаточно, а то мне в голову стал приходить крайне неэтичный юмор в духе «Якоб, Иоганн – какая студенту разница?» =) …Побродил немного по комнате, посмеялся, продолжаю:

Пример 5

Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.

Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.

Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли.

Очевидно, что   является  решением этого уравнение.

И только после этой оговорки делим обе части на  :

Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену:

В результате:

Получено линейное уравнение, проведем замену: 

Решим систему:

Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение:

Таким образом: 

Проведём обратную замену: если изначально  , то обратно: 

В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде: , но, согласитесь, смотрится не очень…, словно Дедушка Мороз подсунул в подарок гнилую мандаринку. Эта фишка уже рассматривалась мной на уроке Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Нет-нет, испорченные продукты питания никому не предлагал =)

Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно).

Ответ: общий интеграл:  . Ещё одно решение: 

Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью.

Пример 7

Найти частное решение дифференциального уравнения , 

Это пример для самостоятельного решения.

Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом.

Удачной вам сессии!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение. Проведем замену:  Получено линейное неоднородное уравнение, замена:  . Составим и решим систему:  Из первого уравнения найдем  :    – подставим во второе уравнение: Таким образом:  Обратная замена:  Общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение:  Красиво.

Пример 3: Решение:  Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на  : Проведем замену:  Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену: Составим и решим систему:    Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение: Таким образом: Обратная замена:    Общее решение:  Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: Ответ: частное решение: 

Пример 5: Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Очевидно, что   является решением данного уравнения. Замена:  В полученном линейном неоднородном уравнении, проведем замену:  Решим систему:  .  Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение: Таким образом: Общее решение:  Обратная замена: Ответ: общее решение  ; ещё одно решение: 

Пример 7: Решение:  Данное ДУ является уравнением Бернулли. Проведем замену:  Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену: Составим и решим систему:    Из первого уравнения найдем  :  – подставим во второе уравнение: Таким образом: Обратная замена:    Частное решение, соответствующее начальному условию  , можно найти прямо из общего интеграла  . Для этого вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» – единицу: Таким образом, частное решение:  Частное решение также выясняется и более «привычным» способом через общее решение  .

Ответ: частное решение: