Формулы Эйлера

Для любого действительного числа   справедливы следующие формулы:

Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.

Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр   не обязан быть одинокой буковкой, в качестве   может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:

Пример 7

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Найти производную.

Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:

Поскольку  , то:

(1) Подставляем    вместо «зет».

(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.

(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.

(4) Используем школьное действие со степенями.

(5) Для множителя   используем формулу Эйлера  , при этом  .

(6) Раскрываем скобки, в результате:

 – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  .

Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:

Частные производные опять не очень сложные, но на всякий пожарный расписал их максимально подробно. Проверяем второе условие:

Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную:

Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены, 

На вторую формулу Эйлера задание для самостоятельного решения:

Пример 8

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана, найти производную.

Полное решение и ответ в конце урока.  ! Внимание! Знак «минус» в формуле Эйлера   относится к мнимой части, то есть  . Терять минус нельзя!

Непосредственно из формул Эйлера можно вывести формулу разложения синуса и косинуса на действительную и мнимую часть. Сам вывод достаточно занудный, вот он, кстати, у меня в учебнике перед глазами (Бохан, Математический анализ, том 2). Поэтому сразу приведу готовый результат, который опять полезно переписать к себе в справочник:

Параметры «альфа» и «бета» принимают только действительные значения, в том числе они могут быть сложными выражениями, функциями действительной переменной.

Кроме того, в формуле нарисовались гиперболические функции, при дифференцировании они превращаются друг в друга, не случайно я включил их в таблицу производных.

Пример 9

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.

Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:

Поскольку  , то:

1) Подставляем    вместо «зет».

(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса. В этих целях раскрываем скобки.

(3) Используем формулу  , при этом  .

(4) Используем чётность гиперболического косинуса:   и нечётность гиперболического синуса:  . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.

В итоге:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  .

Внимание! Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены.

С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:

Пример 10

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде   все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.

Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…

Пример 11

Определить действительную   и мнимую   части  функции  . Проверить выполнение условий Коши-Римана.

Решение: Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции. Если  , то 

Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?

Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников. Вспоминаем школьную формулу  . В знаменателе у нас уже есть  , значит, сопряженным выражением будет  . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на  :

Вот и всё, а вы боялись:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  .

Повторюсь в третий раз – не теряем минус у мнимой части!!!

Проверим выполнения условий Коши-Римана. Надо сказать, частные производные здесь не то чтобы о-го-го, но уже не из простейших:   Условия Коши-Римана выполнены.

Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены.

В качестве эпилога короткая история про ступор, или о том, какие вопросы преподавателей являются самыми сложными. Самые сложные вопросы, как ни странно – это вопросы с очевидными ответами. А история такова: сдаёт человек экзамен по алгебре, тема билета: «Следствие основной теоремы алгебры». Экзаменатор слушает-слушает, а потом вдруг спрашивает: «А откуда это следует?». Вот это был ступор, так ступор. Вся аудитория уже угорала, но студент так и не сказал правильного ответа: «из основной теоремы алгебры».

Вспоминаю историю и из личного опыта, сдаю физику, что-то там про давление жидкости, что уже не помню, но рисунок остался в памяти навсегда – изогнутая труба, по которой текла жидкость. Ответил я билет «на отлично», причем даже сам понял, что ответил. И вот преподаватель напоследок спрашивает: «Где здесь трубка тока?». Крутил-вертел я этот чертёж с изогнутой трубой минут пять, высказывал самые дикие версии, пилил трубу, рисовал какие-то проекции. А ответ был прост, трубка тока – это вся труба.

Неплохо разгрузились, до встречи на уроке Как найти функцию комплексной переменной? Там разобрана обратная задача.

Иногда очевидное – это самое сложное, всем желаю не тормозить!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: так как  , то:  Ответ:   – действительная часть,   – мнимая часть.

Пример 4: Решение: Так как  , то:   Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши Римана: Условие   выполнено. Условие   также выполнено. Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную: Ответ:   – действительная часть,   – мнимая часть.  Условия Коши-Римана выполнены,  .

Пример 6: Решение: определим действительную и мнимую части данной функции.  Так как  , то:  Таким образом:  – действительная часть функции  ; – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены, 

Пример 8: Решение: Так как  , то: Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены, найдём производную: Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены, 

Пример 10: Решение: Так как  , то: Таким образом:  – действительная часть функции  ;  – мнимая часть функции  . Проверим выполнение условий Коши-Римана: Условия Коши-Римана выполнены. Ответ:  ,  , условия Коши-Римана выполнены.

Как найти функцию комплексной переменной по известной действительной или мнимой части?

Рассмотрим еще одну распространенную задачу комплексного анализа: нахождение функции комплексной переменной по известной действительной или мнимой части. Для её освоения необходимо ознакомиться с заданиями урока функция комплексной переменной, где были даны азы темы, поэтому если вы только начинаете разбираться с комплексными функциями, то начните с вышеуказанной статьи.

Сначала вернёмся к задаче предыдущего урока: дана функция комплексной переменной  . Требуется найти действительную   и мнимую   части функции и проверить условия Коши-Римана. Найти производную  . Ну, или производную в точке, фантазия математических злодеев здесь бедновата.

Коротко повторим алгоритм решения данной задачи: на первом этапе следует выполнить подстановку  . Сразу же напоминаю две наиболее ходовые формулы:  В результате функция комплексной переменной должна быть представлена в виде:

Далее идёт проверка условий Коши-Римана. По сути, необходимо найти четыре частных производных и убедиться в справедливости равенств:

В практических примерах условия Коши-Римана выполняются в 99,9% случаев, а значит, с лёгким сердцем можно взять производную  .

Зачем я всё это повторил заново? Дело в том, что сейчас нам предстоит рассмотретьобратную задачу, которая формулируется примерно так:

Дана действительная   часть функции комплексной переменной  . Требуется найти мнимую часть   функции. Найти саму функцию  , используя некотороеначальное условие.

Алгоритм решения будет раскручиваться в обратном направлении:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть  . Очень хорошо, если вы разобрались с дифференциальными уравнениями в полных дифференциалах, так как хитросплетения первого этапа будут точно такими же, как в тех диффурах.

2) Теперь и действительная и мнимая части известны, поэтому составляем функцию  . Дальнейшие действия будут направлены на то, чтобы все «иксы» и «игреки» превратить в «зеты». В частности, наиболее распространенные формулы будут работать в обратном направлении:

То есть, из каши   с помощью раскрытия скобок, перегруппировки слагаемых и т.д. следует выуживать жирные куски масла. Например, составить выражение   и превратить его в  .

3) На завершающем этапе будет получена функция  , в которой есть только комплексная переменная «зет» и константы. Используя начальное условие, окончательно уточняем функцию  . Действие несложное, более подробно вернёмся к нему в практических примерах.

Многие догадались, что существует и зеркальная задача: когда по условию дана мнимая часть  , а требуется найти действительную часть  . Алгоритм решения практически тот же самый – с помощью условий Коши-Римана находим действительную часть  , и понеслась нелёгкая.

Обе задачи встречаются одинаково часто, и я постараюсь максимально детально разобрать оба случая.

Пример 1

Дана действительная часть   функции комплексной переменной. Найти мнимую часть   данной функции и составить функцию  , удовлетворяющую начальному условию  .

Решение:  1) Сначала найдем мнимую часть функции  . В распоряжении у нас есть действительная часть. А что с неё взять, кроме частных производных?

Вспоминаем условия Коши-Римана: В целях решения данной задачи равенства удобнее переписать в другом порядке:

В соответствии с первым условием: В соответствии со вторым условием:  – обратите внимание на смену знака.

В результате у нас протянулся мостик в виде двух частных производных к неизвестной мнимой части:

Следующий этап полностью совпадает с решением дифференциального уравнения в полных дифференциалах, то есть по двум частным производным необходимо восстановить общий интеграл   (мнимую часть). Не сильно хочется, но хотя бы один раз вновь всё пропишу подробно:  – работаем с этой производной;  – про эту производную пока забываем.

Поскольку  , то общий интеграл   восстанавливаем частным интегрированием по «игрек»: , где   неизвестная функция, зависящая только от «икс».

Напоминаю, что при частном интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому   можно вынести за знак интеграла. Для самопроверки всегда полезно найти частную производную:    (функция   зависит только от «икс», поэтому её производная по «игрек» равна нулю).

Теперь от нашей недоделанной мнимой части   берём частную производную по «икс»:  – и результат приравниваем к «забытой» частной производной: После сокращений получаем: Восстанавливаем функцию   интегрированием:

Подставляем найденную функцию   в недоделанную мнимую часть  . В итоге, после всех манипуляций:  – мнимая часть функции 

2) Действие второе. Найдем функцию  :

(1) Подставляем действительную часть  , которая была дана в условии и найденную мнимую часть  .

(2) Раскрываем скобки.

(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, для удобства я заключил их в скобки. В целях перегруппировки нужно проанализировать, что в ближайшей перспективе может получиться? Так, например, смотрим на слагаемое  , и в голову приходит мысль, что тут будет фигурировать формула  , поэтому, и собираем вместе слагаемые, которые очевидно будут относиться к данной формуле.

(4) Проводим вынесение за скобки некоторых множителей, учитывая, что в нашей функции   всё дело явно сведётся к двум формулам:  . При этом всегда можно сделать проверку, раскрыв скобки, например: .

(5) Используя две вышеуказанные формулы, получаем функцию 

Обратите внимание, что в функции   присутствует только комплексная переменная «зет» и константы. Если остался какой-нибудь мусор с «иксами», «игреками», значит, вы допустили ошибку где-то выше.

3) Третий этап короткий. Найдём значение константы  . В соответствии с начальным условием  :

В соответствии с условием в ответе следует записать мнимую часть и саму функцию, естественно, с учётом найденного значения константы  :

Ответ:  , 

Да, конечно, задача не из самых элементарных, но с другой стороны, весьма логично – конструировать гораздо труднее, чем разрушать. По этой причине несложно сделать проверку:

Сначала проверяем выполнение начального условия  :  – начальное условие выполнено.

Второй этап проверки – представить найденную функцию   в виде  , иными словами, в точности решить задачу, которая подробно разобрана на уроке функция комплексной переменной.

Творческий пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Дана действительная часть   функции комплексной переменной. Найти мнимую часть   данной функции и составить функцию  , удовлетворяющую начальному условию  .

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Не отходя от кассы, рассмотрим зеркальную задачу, когда известна мнимая часть функции. Алгоритм, как уже упоминалось, будет очень похожим:

Пример 3

Дана мнимая часть   функции комплексной переменной. Найти действительную часть   и функцию  , удовлетворяющую начальному условию  .

Решение:  1) Найдем действительную часть функции  .

Так как  , то:

Согласно условиям Коши-Римана:  – работаем с этой производной.  – про эту пока забываем.

Примечание: в отличие от Примеров 1,2 условия Коши-Римана применяются в «обычном» виде, то есть переписывать их в другом порядке  – не нужно.

Также напоминаю, что без разницы, с какой производной начинать. Можно было «забыть» о первой производной, а пляску начинать со второй – получилось бы совершенно равноценное решение. Впрочем, этот момент хорошо показан в статьеДифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Едем дальше:

Поскольку  , то действительная часть восстанавливается частным интегрированием по «икс». А если интегрируем по «икс», то «игрек» считается константой: , где   – неизвестная функция, зависящая только от «игрек».

Для проверки можно мысленно или на черновике найти частную производную: , что и требовалось проверить.

Берём недоделанную действительную часть   и находим частную производную по «игрек»:  – результат приравниваем к «забытой» частной производной:

Таким образом, после сокращений: Интегрированием восстанавливаем функцию  :

В результате:  – действительная часть функции  .

2) Найдем функцию  :

(1) Подставляем мнимую часть и найденную действительную часть.

(2) Раскрываем скобки.

(3) Снова выполняем перегруппировку слагаемых. Анализирую слагаемые, видим, что среди них есть слагаемые с кубами, а значит, дело сведётся к формуле  . Поэтому в первой скобке группируем слагаемые, которые явно относятся к данной формуле. Аналогично – замечаем среди слагаемых слагаемые с квадратами, и во второй скобке группируем слагаемые, чтобы далее воспользоваться формулой  .

(4) Проводим вынесение за скобки множителей, чтобы внутри осталось, то, что нужно. При этом полезно мысленно или черновике сделать проверку, раскрыв скобки   и  .

(5) Запаковываем функцию.

В итоге получена функция  , в которой присутствует только комплексная переменная «зет» и константы.

3) В соответствии с начальным условием  :

Ответ:  , 

Готово. Примеры с кубами встречаются достаточно часто, поэтому два примера для самостоятельного решения:

Пример 4

Дана мнимая часть   функции комплексной переменной. Найти действительную часть   и искомую функцию  , удовлетворяющую начальному условию  .

Этот пример можно решить по шаблону только что разобранного примера. Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Пример 5

Для заданной функции   найти сопряженную функцию   и функцию   при известном значении  .

Для полного счастья пример, где дана действительная часть  , здесь целесообразно придерживаться алгоритма Примеров №№1-2. Единственное отличие будет состоять в том, что появится «зет» в кубе.

Также обратите внимание на формулировку условия, она немного другая, но не меняет смысла задачи. Полное решение и ответ в конце урока.

В большинстве случаев вам встретится что-нибудь из уже рассмотренных заданий с квадратами да кубами, но время от времени попадаются более занятные примеры на формулы Эйлера, о которых шла речь в статье функция комплексной переменной.  Вот они, вот они:

Коль скоро мы рассматриваем обратную задачу, то данные формулы тоже будут применяться в обратном направлении:

Еще два, причём, не самых простых примера из реальных контрольных работ студентов:

Пример 6

Для заданной функции   найти сопряженную функцию   и функцию   при заданном начальном условии.

Решение: Первый пункт алгоритма обкатан и стандартен:

1) Найдем мнимую часть функции  .  Так как  , то:

В соответствии с условиями Коши-Римана (а когда дана действительная часть, их нужно сначала переписать в другом виде – см. Примеры №№1,2):  – работаем с этой производной;  – про эту производную пока забываем.

Поскольку  , то:

Найдём частную производную по «икс»:  – результат приравниваем к «забытой» частной производной: Сокращаем равенство и восстанавливаем функцию  :

В результате:  – мнимая часть функции 

2) Второй пункт будет куда веселее. Составим функцию  :

(1) Подставляем действительную и мнимую части.

(2) Раскрываем скобки.

(3) Выполняем перегруппировку слагаемых, при этом выносим   за скобку.

(4) В скобках необходимо организовать конструкцию  , чтобы воспользоваться формулой Эйлера. Немного подумав, догадываемся, что нужно вынести за скобку мнимую единицу.

(5) Используем формулу Эйлера  , при этом 

(6) По школьному правилу действий со степенями подводим экспоненты под единый показатель. Попутно в показателе раскрываем скобки 

(7) В показателе экспоненты проводим окончательную упаковку: 

В результате получена вполне симпатичная функция  , в которой присутствуют только комплексная переменная «зет» и константы.

3) Найдём значение константы  … кто-нибудь еще помнит об этом маленьком третьем этапе? =). В соответствии с начальным условием  : Таким образом: 

Ответ:  , 

Погорячился я со сложностью, на самом деле пример был довольно прост. Но ничего страшного, я привык исполнять обещания, держите:

Пример 7

Для заданной функции   найти сопряженную функцию   и функцию   при заданном начальном условии.

В предложенном примере дана мнимая часть функции, поэтому придерживаемся алгоритма Примеров №№3,4. Задание технически сложное, потребуются хорошие навыки нахождения частных производных, а на втором этапе нужно будет догадаться, как распутать клубок и применить формулу Эйлера. Однако пример взят из реальной контрольной работы студента заочного отделения. Полное решение и ответ в конце урока.

На уроке функция комплексной переменной также были рассмотрены формулы для синуса и косинуса:

Но обратной задачи по этим формулам мне ни разу не встречалось. Тем не менее, я воодушевился предыдущим примером, на лице появилась добрая улыбка, а душа прям таки требует рассказать вам ещё какую-нибудь гадость. Поэтому в заключение разберу любопытный пример, который не так давно встретился в моей практике.

Пример 8

Восстановить функцию   по известной мнимой части   и значению  .

Условие опять немного перефразировано.

Решение:  1) Найдем действительную часть функции  . Нарезаем частные производные от  :

В соответствии с условиями Коши-Римана:  – работаем с этой производной;  – про эту пока забываем.

Если  , то: …и на этом этапе стандартного алгоритма я крепко задумался. Превратил мысленно «игреки» в константы, и пришёл к выводу, что интеграл, конечно, берётся…. Но является довольно сложным с неприятным и долгим решением. Кстати, похожие штуковины рассмотрены в статье Сложные интегралы.

Что делать? Есть другая возможность!  – про эту производную пока забываем;  – работаем с этой производной.

То есть, восстановление действительной части пытаемся начать с другой частой производной, вдруг интеграл проще получится?

Если   , то:

И действительно, интеграл получился намного более простым! Здесь я использовал метод подведения функции под знак дифференциала (не забывайте, что «икс» – константа!).

Находим частную производную по «икс» от недоделанной действительной части:

Приравниваем результат к «забытой» частной производной:

Страшные дроби благополучно сократились и: Таким образом:   – действительная часть функции  .

2) Найдем функцию  :

(1) Поставляем действительную и мнимую части.

(2) Знаменатели дробей одинаковы, поэтому оформляем дроби под единым знаменателем.

(3) Раскладываем знаменатель на множители при помощи формулы разности квадратов:  . Конечно, это не совсем очевидно, особенно для чайника. И для  сомневающихся читателей выполню проверку: 

(4) Сокращаем дробь на  .

(5) Упаковываем функцию:  .

Готово: 

3) В соответствии с начальным условием:  Таким образом:   – искомая функция.

Ответ:  , 

Вот так вот иногда бывает. Казалось бы, такая простенькая функция  , а сколько приключений! Никогда не нужно теряться – если дверь закрыта, пробуйте залезть в форточку! И не забывайте, я в доле =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:  1) Найдём мнимую часть  . Частные производные от действительной части:  В соответствии с  условиями Коши-Римана: Поскольку  , то:   Таким образом: В результате:  – мнимая часть функции  2) Найдем функцию  :   3) В соответствии с начальным условием  :   Ответ:  , 

Пример 4: Решение: Найдем действительную часть функции  .  Так как  , то: В соответствии с условиями Коши-Римана:   Поскольку  , то: Найдём частную производную по «игрек»:   Таким образом: В результате:  – действительная часть функции  . Найдем функцию  : В соответствии с начальным условием  : Ответ:  , 

Пример 5: Решение: Найдем мнимую часть функции  . Вычислим частные производные от  : В соответствии с условиями Коши-Римана: Так как  , то: Таким образом: В результате:   – мнимая часть функции  . Найдем функцию  : В соответствии с начальным условием:  Ответ:  ,   – искомая функция.

Пример 7: Решение: Найдем действительную часть функции  .  Так как  , то: В соответствии с условиями Коши-Римана:   Поскольку  , то: Примечание: Интеграл   берётся по частям. Найдём частную производную по «игрек»:   Таким образом: В результате:  – действительная часть функции  . Найдем функцию  : В соответствии с начальным условием  : Ответ:  , 

Как решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления?

На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления. Снова и снова избавляю вас от предубеждения, что материал немыслимо сложный и недоступный. Забавно, но для освоения примеров можно вообще не уметь дифференцировать, интегрировать и даже не знать, что такое комплексные числа. Потребуется навык применения метода неопределённых коэффициентов, который детально разобран в статье Интегрирование дробно-рациональных функций. Фактически краеугольным камнем задания являются обычные алгебраические действия, и я уверен, что материал доступен даже для школьника.

Сначала сжатые теоретические сведения о рассматриваемом разделе математического анализа. Основная суть операционного исчисления состоит в следующем: функция действительной переменной   с помощью так называемого преобразования Лапласа отображается в функцию комплексной переменной  :  

Терминология и обозначения: функция   называется оригиналом; функция   называется изображением; заглавной буквой   обозначается преобразование Лапласа.

Говоря простым языком, действительную функцию   (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию   (изображение). Стрелочка   обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа, которое мы рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно.  

Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал:

Зачем всё это нужно? В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов   к изображениям  , поскольку в этом случае  решение задания значительно упрощается (шутка). И как раз одну из таких задач мы и рассмотрим. Если вы дожили до операционного исчисления, то формулировка должна быть вам хорошо знакома:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами   при заданных начальных условиях  .

Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным:  , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях.

Как известно, неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить методом подбора частного решения по виду правой части либо методом вариации произвольных постоянных.

И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения, кроме того, начальные условия строго имеют вид   («иксы» равны нулям).

К слову, об «иксах». Уравнение   можно переписать в следующем виде: , где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. Я не случайно об этом говорю, поскольку в рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы:

То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека»)

Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек.

Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом:

Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами   при заданных начальных условиях  .

Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы.

Как решить данную задачу методом операционного исчисления?

Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений. Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ».

С помощью таблицы оригиналы   и   необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение.

Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму.

Пример 1

С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. ,  , 

Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону таблицы оригиналов и изображений.

Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности, поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией   и её производными.

По табличной формуле №1 превращаем функцию: 

По формуле №2  , учитывая начальное условие  , превращаем производную: 

По формуле №3   , учитывая начальные условия  , превращаем вторую производную:  

Не путаемся в знаках!

Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами.

Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен  . В силу того жеправила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно.

Смотрим на первое слагаемое:   – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование:

Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения:  , а к единице применить преобразование:

Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения   с помощью таблицы найдены соответствующие изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение  :

Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение   через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий:

Для начала раскрываем скобки в левой части:

Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап:

Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует  , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака:

В левой части выносим за скобки операторное решение  , в правой части приводим выражение к общему знаменателю:

Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение:

Таким образом:

Сбрасываем   в знаменатель правой части:

Цель достигнута – операторное решение   выражено через одну дробь.

Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей:

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:

Если возникли затруднения с методом неопределенных коэффициентов, пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции иКак решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи.

Итак, коэффициенты найдены:  , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде: Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем  . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок:

Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений.

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Возможно, не всем понятно преобразование  . Здесь использована формула пункта №5 таблицы:  . Если подробнее:   . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать:  . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом.

После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается на блюдечке с голубой каёмочкой:

Было: 

Стало: 

Ответ: частное решение: 

При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, которая уже рассматривалась на уроке Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка. Повторим:

Проверим выполнение начального условия  :  – выполнено.

Найдём первую производную:

Проверим выполнение второго начального условия  :  – выполнено.

Найдём вторую производную:

Подставим  ,   и   в левую часть исходного уравнения  : Получена правая часть исходного уравнения.

Вывод: задание выполнено правильно.

Небольшой пример для самостоятельного решения:

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.

Наиболее частный гость в дифференциальных уравнениях, как многие давно заметили, экспоненты, поэтому рассмотрим несколько примеров с ними, родными:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления. ,  , 

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа (левая часть таблицы) перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям.

Сначала рассмотрим левую часть уравнения. Там отсутствует первая производная. Ну и что из того? Отлично. Работы поменьше. Учитывая начальные условия  , по табличным формулам №№1,3 находим изображения:

Теперь смотрим на правую часть:   – произведение двух функций. Для того чтобы воспользоваться свойствами линейности преобразования Лапласа, нужно раскрыть скобки:  . Так как константы находятся в произведениях, то на них забиваем, и, используя группу №5 табличных формул, находим изображения:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение: Напоминаю, что дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение   через единственную дробь.

В левой части оставляем слагаемые, в которых присутствует  , остальные слагаемые переносим в правую часть. Заодно в правой части начинаем потихоньку приводить дроби к общему знаменателю:

Слева выносим   за скобки, справа приводим выражение к общему знаменателю:

В левой части получен неразложимый на множители многочлен  . Если многочлен не раскладывается на множители, то его, бедолагу, сразу нужно сбросить на дно правой части, забетонировав ноги в тазике. А в числителе раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: 

Наступил самый кропотливый этап: методом неопределенных коэффициентовразложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей: Таким образом:

Обратите внимание, как разложена дробь:  , скоро поясню, почему именно так.

Финиш: перейдем от изображений к соответствующим оригиналам, используем правый столбец таблицы:

В двух нижних преобразованиях использованы формулы №№6,7 таблицы, и дробь   предварительно раскладывалась как раз для «подгонки» под табличные преобразования.

В результате, частное решение:

Ответ: искомое частное решение: 

Похожий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения методом операционного исчисления.

Краткое решение и ответ в конце урока.

В Примере 4 одно из начальных условий равно нулю. Это, безусловно, упрощает решение, и самый идеальный вариант, когда оба начальных условия нулевые:  . В этом случае производные преобразуются в изображения без хвостов:

Как уже отмечалось, наиболее сложным техническим моментом задачи является разложение дроби  методом неопределенных коэффициентов, и в моём распоряжении есть достаточно трудоёмкие примеры. Тем не менее, монстрами запугивать никого не буду, рассмотрим ещё пару типовых разновидностей уравнения:

Пример 5

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. ,  , 

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия  :

С правой частью тоже никаких проблем: (Напоминаю, что константы-множители игнорируются)

Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выполняем стандартные действия, которые, я надеюсь, вы уже хорошо отработали:

Константу в знаменателе выносим за пределы дроби, главное, потом про неё не забыть:

Думал, выносить ли ещё дополнительно двойку из числителя, однако, прикинув, пришел к выводу, что данный шаг практически не упростит дальнейшего решения.

Особенностью задания является полученная дробь. Кажется, что её разложение будет долгим  и трудным, но впечатление обманчиво. Естественно, бывают сложные вещи, но в любом случае – вперёд, без страха и сомнений: 

То, что некоторые коэффициенты получились дробными, смущать не должно, такая ситуация не редкость. Лишь бы техника вычислений не подвела. К тому же, всегда есть возможность выполнить проверку ответа.

В результате, операторное решение:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Таким образом, частное решение:

На последних двух шагах был проведён, так скажем, косметический ремонт ответа.

Ответ: частное решение: 

И, естественно, если в ходе решения получились дроби, то проверка напрашивается сама собой, чтобы развеять все сомнения относительно правильности результата. Я выполнил проверку на черновике, всё сошлось.

Похожий и весьма любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 6

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. ,  , 

Он проще, чем кажется, решение и ответ в конце урока.

Рассматриваемые задания сплошь и рядом попадаются в контрольных работах, и я не случайно включаю в урок вроде бы однообразные примеры. В заключение разберу ещё один тип уравнения, который встречается реже, но встречается:

Пример 7

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. ,  , 

Алгоритм стандартен.

Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим полученные изображения в исходное уравнение и выразим операторное решение:

В левой части получен неразложимый на множители трёхчлен (можете попробовать решить квадратное уравнение). Подобный случай уже встречался в Примере 3. Ну не раскладывается, так не раскладывается, сбрасываем его в правую часть:

Методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:

Таким образом:

Пожалуйста, внимательно просмотрите на манипуляции с дробью  . Во-первых, в числителе использован искусственный приём:  . Во-вторых, в знаменателе выделяется полный квадрат (если кто забыл о данном действии, читайте  статьюИнтегрирование некоторых дробей). Все эти ухищрения выполнены с единственной целью: нужно преобразовать дробь    ТАК, чтобы потом использовать табличные формулы  ,     (№№10,11 таблицы).

Дальнейшее просто:

В результате, частное решение:

Ответ: 

Как видите, помимо навыков решения, в рассмотренной задаче присутствует ещё и творчество. Когда происходит «затык», нужно постараться что-нибудь придумать, проявить смекалку, фантазию. Да и не только в математике.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям: Подставим полученные изображения в исходное уравнение: Методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей: Таким образом: Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам: Ответ: частное решение: 

Пример 4: Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям: Подставим полученные изображения в исходное уравнение: Методом неопределенных коэффициентов разложим операторное решение уравнения в сумму элементарных дробей:

Таким образом: Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам: Ответ: частное решение: 

Пример 6: Решение: С помощью таблицы преобразований Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Учитывая начальные условия  : Подставим полученные изображения в исходное уравнение: Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей: В результате: Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам: Частное решение: Ответ: 

Как решить систему дифференциальных уравнений операционным методом?

На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.

К делу. У кого как, а у меня сегодня 1-го июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления. Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку Как решить ДУ операционным методом. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!

Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений, что значит найти общее решение системы и частное решение системы.

Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения. Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений  , соответствующее начальным условиям  .

Как вариант, система может быть и неоднородной  – с «довесками» в виде функций   и   в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1) Речь идёт только о частном решении. 2) В скобочках начальных условий   находятся строго нули, и ничто другое.

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом. Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений.

Пример 1

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений,  соответствующее  заданным начальным условиям. ,  , 

Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ  данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы №№1,2,  учитывая начальное условие  , получаем:

Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки».  Используя те же преобразования №№1,2, учитывая начальное условие  , находим:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение  :

Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует   или  . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальныеслагаемые:

Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки: При этом на первых позициях следует разместить  ,  а на вторых позициях  :

Полученную систему уравнений с двумя неизвестными   обычно решают по формулам Крамера. Вычислим главный определитель системы:

В результате расчёта определителя получен многочлен  .

Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение  , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что  .

Таким образом, наш главный определитель системы: , значит, система имеет единственное решение.

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы:

Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решение ДУ операционным методом. Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов, с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1) Разбираемся с первой дробью: Таким образом: 

2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты): Таким образом: 

В результате операторное решение системы:

Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:  – так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:   

Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений,  соответствующее  заданным начальным условиям. ,  , 

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:

Пример 3

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений,  соответствующее  заданным начальным условиям. ,  , 

Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия  , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом. Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу  , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют  , в правых частях разместим остальные слагаемые:

В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:

Систему решим по формулам Крамера.

Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители: , значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше: Таким образом, операторное решение системы:

Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:   

Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.

Пример 4

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений   с заданными начальными условиями  , 

Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение.

Полученный многочлен   не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.

В результате операторное решение системы:

А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:   

Один из немногих случаев, когда я согласен с тем, что метод операционного исчисления действительно проще, чем «обычный» способ решения.

Заключительный, более трудный пример – для самостоятельного изучения:

Пример 5

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений   с заданными начальными условиями  , 

В данной задаче может возникнуть трудность у финишной ленты – при переходе от изображений к оригиналам. Смотрите концовку Примера 7 статьи Как решить ДУ операционным методом, там подробно закомментировано, что нужно сделать в аналогичной ситуации. Полное решение и ответ уже рядом.

Желающие потренироваться дополнительно, могут решить операционным методом примеры №№1-4 урока Как решить систему дифференциальных уравнений, тем более, там известны правильные ответы. Ну а я отойду заварить еще кофе, перед тем как сверстать эту веб страницу. Действительно усталость накопилась…

Успешной сдачи зачётов и экзаменов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям: Подставим найденные изображения в исходное уравнение: Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение. Примечание: многочлен   раскладывается на множители устно, на черновике или прямо в тексте работы. В общем случае требуется решить квадратное уравнение  . Таким образом, операторное решение системы: Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей: В результате: Прейдем от изображений к соответствующим оригиналам: Ответ: частное решение: 

Пример 5: Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям: Подставим найденные изображения в исходную систему: Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение. Таким образом, операторное решение системы: Методом неопределенных коэффициентов получим сумму элементарных дробей: В результате: Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам: Частное решение:  Ответ:   

Теория вероятностей: