Физические приложения тройного интеграла

Но сначала разомнёмся физически, тело – в дело =) Пожалуйста, встаньте и найдите какой-нибудь пакет или мешок. Можно коробку. Теперь походим по квартире, ну или по улице и наведём порядок. А именно, наполним тару мусором. …Очень хорошо, молодцы. В результате ваших трудов получено ограниченное тело неоднородной плотности. Как говорится, есть бумажка, а есть жестяная крышка. Воздух, кстати, тоже обладает вполне определённой плотностью. Напоминаю, что физическая плотность – есть отношение массык объёму, например, 100 грамм на кубический метр.

Ставим мешок рядышком и читаем дальше. Рассмотрим неоднородное (переменной плотности) тело  . Если известна непрерывная в области   функция    плотности тела, то его масса равна следующему тройному интегралу:

Возможно, не всем понятен смысл функции плотности. Поясняю: если взять произвольную точку  , принадлежащую телу  , то значение функции   будет равно плотности тела в данной точке.

Только не стОит находить функцию   для пакета с мусором, иначе шнобелевская премия обеспечена =) …Хотя, с другой стороны нашлись же энтузиасты оценить суммарную площадь поверхности индийских слонов и создать математическую модель пивной пены.

Однако разрядились, и хватит. Разберём несколько тематических задач:

Пример 17

Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями  , если известна функция его плотности  .

Решение: искомое тело ограничено цилиндром   сбоку, эллиптическим параболоидом   – сверху и плоскостью   – снизу. Дополнительные условия   «загоняют нас» в 1-й октант, и проекция тела на плоскость   представляет собой соответствующую «четвертинку» единичного круга: Аналитическим методом уточним высоту, на которой параболоид пересекает цилиндр:  и выполним пространственный чертёж: Проекция сразу же наводит на мысль о переходе к цилиндрической системе координат:

Порядок обхода тела очевиден:

Таким образом:

Вычисления элементарны:

Ответ:   

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 18

Вычислить массу неоднородного тела, ограниченного поверхностями  , если известна функция его плотности  .

Краткое решение в конце урока

И старая песня о главном:

Центр тяжести тела

Подобно тому, как задача о вычислении центра тяжести плоской фигуры вычислялась с помощью двойного интеграла, задача об отыскании центра тяжести тела решается аналогичным способом с помощью тройного интеграла.

Что такое центр тяжести тела, довольно удачно объяснил ещё Архимед. Если тело подвесить на нить за центр тяжести, то оно будет сохранять равновесие в любом положении (как бы мы его предварительно ни повернули). В известной степени не реализуемо (таки центр тяжести внутри тела), но зато очень понятно. И вполне в стиле древнегреческого учёного, который просил дать ему точку опоры, чтобы с помощью рычага перевернуть Землю.

Центр тяжести   неоднородного тела   рассчитывается по формулам:

, где   – функция плотности тела, а   – масса тела.

Если тело однородно (золотое, серебряное, платиновое и т.д.), то формулы упрощаются. Так как плотность   постоянна, и масса  –  есть произведение плотности на объём, получаем: , а объём тела рассчитывается (ещё не забыли? =)) с помощью тройного интеграла  .

Для центра тяжести однородного тела справедливы следующие утверждения:

– если у тела есть центр симметрии, то он является центром тяжести (простейший пример – центр шара);

– если у тела существует линия симметрии, то центр тяжести обязательно принадлежит данной линии;

– если у тела есть плоскость симметрии, то центр тяжести непременно лежит в этой плоскости.

Как видите, практически полная аналогия с центром тяжести плоской фигуры.

Ну и, само собой, не могу не порадовать вас заключительной задачей:

Пример 19

Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями  ,  . Выполнить чертежи данного тела и его проекции на плоскость  .

Решение: искомое тело ограничено координатными плоскостями и плоскостью  , которую в целях последующего построения удобно представить в отрезках:  . Выберем «а» за единицу масштаба и выполним трёхмерный чертёж: На чертеже уже поставлена готовая точка центра тяжести, однако, пока мы её не знаем.

Проекция тела на плоскость   очевидна, но, тем не менее, напомню, как её найти аналитически – ведь такие простые случаи встречаются далеко не всегда. Чтобы найти прямую, по которой пересекаются плоскости   нужно решить систему:

Подставляем значение   в 1-ое уравнение:   и получаем уравнение   «плоской» прямой: Координаты   центра тяжести   тела   вычислим по формулам , где   – объём тела.

Выберем «классический» порядок обхода: 

1) Сначала вычислим объём тела. Его, кстати, можно узнать заранее, пользуясь известной задачей геометрии об объёме тетраэдра. Объём тетраэдра равен 1/6-ой объёма прямоугольного параллелепипеда, построенного на его 3-х смежных рёбрах. В нашем случае параллелепипед представляет собой куб с ребром «а», и соответственно: 

Осталось аккуратно провести чистовые вычисления (желающие могут потренироваться и выполнить их самостоятельно). В примерах с громоздкими преобразованиями рекомендую записывать решение столбиком – меньше шансов запутаться:

Дело за тремя тройными интегралами. ...А вы, наверное, не так давно и представить себе не могли, что окажетесь в эпицентре такого кошмара =)

2) Вычислим «иксовый» интеграл:

Таким образом, «иксовая» координата центра тяжести:

Ну что же, выглядит правдоподобно, по крайне мере, мы «попали внутрь тела».

Ввиду симметрии тетраэдра две другие координаты должны получиться такими же. Теперь ошибочный ответ практически исключён!

3) Следующая «простыня»:

В результате:

4) И заключительный, более короткий интеграл:

Отмечаем на чертеже найденную точку центра тяжести и её же записываем в ответ: 

Осталось взять мешок с мусором и чувством глубокого морального удовлетворения выбросить его… нет, в окно не надо =)

Что осталось за кадром? В сетку урока не попала редко встречающая на практике сферическая система координат. В сферических координатах положение любой точки пространства однозначно определяется одним расстоянием и двумя углами. Более подробную информацию и соответствующие примеры можно найти в учебной литературе.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 14: Решение: изобразим проекцию данного тела на плоскость  : Сверху тело ограничено эллиптическим параболоидом  . Выберем следующий порядок обхода: Таким образом: Примечание: в «зетовом» интеграле сумма   считается константой, поэтому её удобно сразу вынести в следующий интеграл.   Ответ: 

Пример 16: Решение: выполним чертёж: Выберем следующий порядок обхода тела: Таким образом: Ответ: 

Пример 18: Решение: искомое тело ограничено эллиптическим параболоидом   снизу и конической поверхностью   – сверху; параболоид и конус пересекаются в плоскости   по окружности   (выкладки и чертёж – см. в Примере №9 страницы Тройные интегралы). Поскольку  , то речь идёт о правом (относительно плоскости  ) полупространстве, и проекцией тела на плоскость   является верхний полукруг единичного радиуса: Массу тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: Порядок обхода тела: Таким образом: Ответ: 

Комплексный анализ: