Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты – это, по сути, полярные координаты в пространстве.  В цилиндрической системе координат положение точки   пространства определяется полярными координатами   и   точки   – проекции точки   на плоскость   и аппликатой   самой точки  .

Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:

Применительно к нашей теме преобразование выглядит следующим образом:

И, соответственно, в упрощённом случае, который мы рассматриваем в этой статье:

Главное, не забывать про дополнительный множитель «эр» и правильно расставлятьполярные пределы интегрирования при обходе проекции:

Пример 7

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями  . Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость  .

Решение: придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности   на плоскость   представляет собой «одноимённую» окружность  .

Плоскости   ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг  : На очереди трёхмерный чертёж. Основная трудность состоит в построении плоскости  , которая пересекает цилиндр   под «косым» углом, в результате чего получается эллипс. Уточним данное сечение аналитически: для этого перепишем уравнение плоскости в функциональном виде   и вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках  , которые лежат на границе проекции:

Отмечаем найдённые точки на чертеже и аккуратно (а  не так, как я =)) соединяем их линией: Проекция тела на плоскость   представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат:

Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:

Теперь следует выяснить порядок обхода тела.

Сначала разберёмся с проекцией. Как определить её порядок обхода? ТОЧНО ТАК ЖЕ, как и при вычислении двойных интегралов в полярных координатах. Здесь он элементарен:

«Вертикальные» пределы интегрирования тоже очевидны – входим в тело через плоскость   и выходим из него через плоскость  :

Перейдём к повторным интегралам:

При этом множитель «эр» сразу ставим в «свой» интеграл.

Веник как обычно легче сломать по прутикам:

1) 

Сносим результат в следующий интеграл:

2) 

А тут не забываем, что «фи» считается константой. Но это до поры до времени:

3) 

Ответ: 

Похожее задание для самостоятельного решения:

Пример 8

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями  . Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость  .

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Обратите внимание, что в условиях задач ни слова не сказано о переходе к цилиндрической системе координат, и несведущий человек будет бодаться с трудными интегралами в декартовых координатах. …А может и не будет – ведь есть третий, исконно русский способ решения проблем =)

Всё только начинается! …в хорошем смысле: =)

Пример 9

С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями 

Скромно и со вкусом.

Решение: данное тело ограничено конической поверхностью   иэллиптическим параболоидом  .  Читатели, которые внимательно ознакомились с материалами статьи Основные поверхности пространства, уже представили, как выглядит тело, но на практике часто встречаются более сложные случаи, поэтому я проведу подробное аналитическое рассуждение.

Сначала найдём линии, по которым пересекаются поверхности. Составим и решим следующую систему:

Из 1-го уравнения почленно вычтем второе:

В результате получено два корня: 

Подставим найденное значение   в любое уравнение системы: , откуда следует, что  Таким образом, корню   соответствует единственная точка – начало координат. Естественно – ведь вершины рассматриваемых поверхностей совпадают.

Теперь подставим второй корень   – тоже в любое уравнение системы: Каков геометрический смысл полученного результата? «На высоте»   (в плоскости  ) параболоид и конус пересекаются по окружности   – единичного радиуса с центром в точке  .

При этом «чаша» параболоида вмещает в себя «воронку» конуса, поэтому образующиеконической поверхности следует прочертить пунктиром (за исключением отрезка дальней от нас образующей, который виден с данного ракурса): Проекцией тела на плоскость   является круг   с центром в начале координат радиуса 1, который я даже не удосужился изобразить ввиду очевидности данного факта(однако письменный комментарий делаем!). Кстати, в двух предыдущих задачах на чертёж проекции тоже можно было бы забить, если бы не условие.

При переходе к цилиндрическим координатам по стандартным формулам неравенство запишется в простейшем виде   и с порядком обхода проекции никаких проблем:

Найдём уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат: Так как в задаче рассматривается верхняя часть конуса, то из уравнения   выражаем:

«Сканируем тело» снизу вверх. Лучи света входят в него через эллиптический параболоид   и выходят через коническую поверхность  . Таким образом, «вертикальный» порядок обхода тела:

Остальное дело техники:

Ответ: 

Не редкость, когда тело задаётся не ограничивающими его поверхностями, а множеством неравенств:

Пример 10

С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где   – произвольное положительное число.

Геометрический смысл пространственных неравенств я достаточно подробно разъяснил в той же справочной статье – Основные поверхности пространства и их построение.

Данная задача хоть и содержит параметр, но допускает выполнение точного чертежа, отражающего принципиальный вид тела. Подумайте, как выполнить построение. Краткое решение и ответ – в конце урока.

…ну что, ещё парочку заданий? Думал закончить урок, но прямо так и чувствую, что вы хотите ещё =)

Пример 11

С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела: , где   – произвольное положительное число.

Решение: неравенство   задаёт шар с центром в начале координат радиуса  , а неравенство   – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии   радиуса  . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости   сферическими сегментами сверху и снизу.

Принимая   за базовую единицу измерения, выполним чертёж: Точнее, его следует назвать рисунком, поскольку пропорции по оси   я выдержал не очень-то хорошо. Однако, справедливости ради, по условию вообще не требовалось ничего чертить и такой иллюстрации оказалось вполне достаточно.

Обратите внимание, что здесь не обязательно выяснять высоту, на которой цилиндр высекает из шара «шапки» – если взять в руки циркуль и наметить им окружность с центром в начале координат радиуса 2 см, то точки пересечения с цилиндром получатся сами собой.

Кстати, как найти эту высоту аналитически? Нужно подставить сумму квадратов   в уравнение сферы  :

Но вернёмся к теме. Проекция данного тела на плоскость   представляет собой круг с центром в начале координат радиуса   (на чертеже отсутствует) и поэтому нас снова выручают цилиндрические координаты. Порядок обхода проекции тривиален:

По формулам перехода   найдём уравнение сферы в цилиндрических координатах:  – задаёт верхнюю полусферу;  – задаёт нижнюю полусферу.

Лучи «лазера» входят в тело через нижнюю «шапку» и выходят через верхнюю, таким образом:

Можно сослаться на симметрию и вычислить объём половины тела, но, как ни странно, это только заморочит решение – гораздо проще провести формальные вычисления.

Расписываем и щёлкаем повторные интегралы:

1) 

Вот так – и никаких комментов о симметрии. Сносим результат в следующий интеграл:

2) 

Здесь в целях сократить решение я подвёл функцию под знак дифференциала, но «чайникам» всё же рекомендую «классический» путь замены переменной.

Сносим полученную константу в последний интеграл, а точнее, сразу выносим её за его пределы:

3) 

Ответ: 

Косвенным признаком правильности вычислений является тот факт, что параметр вошёл в ответ в кубе. Ну и ещё на всякий пожарный, проверим, не получился ли случаем результат отрицательным:   – нет, не получился. Хотя всё это, конечно, нельзя считать надёжной проверкой.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Пример 12

С помощью тройного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями 

Особенность этого примера состоит в том, что здесь затруднено построение трёхмерного чертежа (уже знакомый из предыдущего параграфа мотив) и в этой связи тело придётся представить мысленно. Да и проекция, к слову, тоже не сахар.

В данную статью я включил не самые сложные примеры, и желающие могут закачать дополнительные задачи с готовыми решениями, в частности, интересны и поучительны примеры, где тело приходится разделять на 2 части.

Ну а сейчас я предлагаю сделать передышку и ознакомиться с заключительной частью урока – Как вычислить произвольный тройной интеграл?

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: изобразим данное тело на чертеже. Порядок обхода тела:  Объём тела вычислим с помощью тройного интеграла:  Ответ: 

Пример 4: Решение: изобразим проекцию данного тела на плоскость  : Данное тело ограничено параболическими цилиндрами сбоку, плоскостью   – снизу и плоскостью   – сверху (последнюю лучше всего изобразить в отрезках):  Выберем следующий  порядок обхода тела:  Таким образом:  Ответ: 

Пример 6: Решение: изобразим проекцию данного тела на плоскость  : Данное тело ограничено параболическим цилиндром   и плоскостью   сбоку, плоскостью   – снизу и параболическим цилиндром   – сверху. Примечание: обратите внимание, что   при любых  , т.е. данная поверхность лежит выше координатной плоскости  . Выберем следующий порядок обхода тела: Вычислим объём тела: Ответ: 

Пример 8: Решение: данное тело ограничено плоскостью   снизу, эллиптическим параболоидом   – сверху и цилиндром   – сбоку. Выполним чертежи:  Объём тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: Порядок обхода тела: Таким образом: Ответ: 

Пример 10: Решение: данное тело ограничено плоскостью   снизу, сферой   – сверху и цилиндрической поверхностью   – изнутри: Проекция тела на плоскость   представляет собой кольцо с внутренним радиусом   и внешним радиусом  . Объём тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: : Порядок обхода тела: Таким образом: Ответ: 

Пример 12: Решение: изобразим проекцию данного тела на плоскость  . Сначала преобразуем уравнение:  . Проекцией цилиндра   является окружность с центром в точке   радиуса  .  Найдём линию пересечения эллиптического параболоида с плоскостью  :  – окружность с центром в начале координат радиуса 6. Выполним чертёж: Искомое тело ограничено плоскостью   снизу, эллиптическим параболоидом   – сверху и цилиндрической поверхностью   – сбоку. Объём тела вычислим с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему координат: Порядок обхода тела: Таким образом:

Ответ: