Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений

Предпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида  .

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»:  .

Если   или  , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.

Целая степень   может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того,   может быть обыкновенной дробью, например  .

Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Волком:

Зайчиком:

Или белочкой:

Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж  , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень.

Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если  ) является решение:  . Действительно, если найти   и подставить   в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Как отмечалось в статье об однородных уравнениях, если по условию требуется найти только частное решение, то функция   по понятной причине нас не колышет, но вот когда требуется найти общее решение/интеграл, то необходимо проследить, чтобы эту функцию не потерять!

Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой.

Пример 1

Найти частное решение  дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию. , 

Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в 2-х уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.

Решение: Данный диффур имеет вид  , а значит, является уравнением Бернулли

Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?

Алгоритм достаточно прост и незамысловат.

На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем  в низ левой части и проводим почленное деление:

Далее необходимо избавиться от игрека вот в этом слагаемом:

Для этого проводим замену:  , то есть меняем дробь с «игреком» на букву «зет». Находим производную: . Если данное действие не понятно, пожалуйста, посмотрите первый параграф урока

Смотрим на первое слагаемое: И что-то подсказывает, что нужно заменить  . Это легко: если  , то 

Таким образом, в результате проведенной замены   уравнение   превращается в уравнение:

Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. С той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».