Как вычислить двойной интеграл в полярной системе координат?

Закончим бой с двойным интегралом нокаутом в третьем раунде. Что нужно знать и уметь для полной победы?  Ещё раз взглянем на заголовок статьи… очевидно, вы должны знать, что такое полярные координаты… и уметь решать двойные интегралы =) Стоп-стоп, не закрываем в панике страницу – первое осваивается в считанные минуты, ну а второе, конечно, несколько дольше. Итак, чайникам – двойные интегралы для чайников, остальных же читателей приглашаю ознакомиться с третьим уроком темы. Новизны будет совсем немного и если вы мало-мальски набили руку на вычислении двойных интегралов, то особых трудностей возникнуть не должно.

Типовое задание формулируется примерно так: «Вычислить двойной интеграл, используя полярную  систему координат». После чего для решения предлагается … обычный двойной интеграл   в декартовых координатах по области  . Сначала рассмотрим более простой и распространённый случай, когда подынтегральная функция 2-х переменных   и двойной интеграл   численно равен площади области интегрирования. Разберём алгоритм решения на бесхитростной демо-задаче:

Пример 1

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями  , с помощью двойного интеграла, используя полярную систему координат

Решение: На первом этапе ничего нового. Выполняем чертёж области   в прямоугольной системе координат.  Линейное неравенство   определяет правую полуплоскость, включая ось  , а уравнение  , очевидно, задаёт какую-то линию 2-го порядка. Чтобы выяснить, какую именно – выделим полный квадрат:  – окружность единичного радиуса с центром в точке  .

Таким образом, требуется вычислить площадь половинки круга:

Не упустим возможность сразу узнать ответ. По школьной формуле у нас должно получиться: 

Площадь фигуры стандартно рассчитывается по формуле  , однако по условию нужно воспользоваться полярными координатами. На всякий случай закомментирую расположение полярной системы координат: полюс совпадает с началом прямоугольной системы, а полярная ось – с положительным направлением оси  . Полярную ось можно прочертить жирнее, но лично я часто этим пренебрегаю.

При переходе к полярной системе координат произведение дифференциалов ВСЕГДА превращается в следующую вещь:

То есть, от интегрирования по декартовым «иксу» и «игреку» мы перешли к интегрированию по полярному радиусу «эр» и полярному углу «фи». Обратите внимание на дополнительно появившийся множитель  , образно говоря, это «плата за переход», любители высшей математики могут погуглить якобиан перехода к полярным координатам. Практическая же сторона вопроса состоит в том, что этотмножитель «эр» терять нельзя.

Таким образом: 

Но это ещё не всё – ведь границы области   тоже заданы в декартовой системе. Используем формулы перехода к полярным координатам  . Ось ординат не трогаем, а вот окружность потревожим:

 – получено типовое уравнение, на котором заострялось внимание ещё в статье Полярные координаты.

Теперь двойной интеграл   необходимо свести к повторным интегралам. Для этого нужно выяснить порядок обхода области. На уроке Двойные интегралы для чайников мы орудовали виртуальной лазерной указкой, в полярных же координатах более удачна другая ассоциация – просвечивание области   радаром. Представьте, что из точки полюса исходит луч света и вращается против часовой стрелки.

Когда луч радара поворачивается от полярной оси   до угла   (зелёная стрелка), то он входит в область   непосредственно из полюса (начиная со значения ) и выходит из неё через окружность   (красная стрелка). Таким образом, на промежутке   полярный радиус изменяется в пределах   и область интегрирования полностью «просканирована».

В результате: 

Множитель  , разумеется,  уходит во внутренний интеграл, где осуществляется интегрирование по «эр».

Начинающим вновь рекомендую оформить концовку в два пункта:

1)  , чтобы продемонстрировать на следующем шаге примечательный факт, дальше упрощать пока не буду.

2) Подставляем трофей во внешний интеграл:

Заметьте, что здесь прорисовалась знакомая формула площади криволинейного сектора  , которой мы активно пользовались на уроке Вычисление площади в полярных координатах с помощью интеграла, и фактически 2-ой пункт – это повторение пройденного материала!

Используем формулу понижения степени:

Что и требовалось получить.

Ответ: 

В простых случаях, как этот, вычисления можно оформить и одной строкой: Но злоупотреблять короткой дорожкой не советую – повышается риск запутаться.

В разобранной задаче жёстко требовалось использовать полярную систему координат, и это очень хорошо! Я не иронизирую. Как ни странно, более свободная формулировка условия может здОрово осложнить жизнь. Отрубим ящерице хвост:

«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями  , с помощью двойного интеграла»

Дело в том, что площадь данной фигуры рассчитывается и с помощью двойного интеграла   в прямоугольной системе координат. Но решение получается длительным и громоздим (см. задачу нахождения площади круга), и если человек не знает о возможности перехода к полярным координатам (а по условию это не запрещено!), то будет загружен трудной работой.

Давайте ещё укоротим условие:

«Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченную линиями  »

Здесь появилась новая степень свободы, и площадь фигуры помимо прочих способов можно рассчитать с помощью однократного интеграла (решение будет почти совпадать с решением через двойной интеграл). А люди со своеобразным чувством юмора вычислят площадь и по школьной формуле, чтобы затем настойчиво доказывать рецензенту корректность своего решения =) В чём, кстати, будут правы – ибо поборник конкретики должен и задачи ставить конкретно!

Чуть позже я коснусь ещё одной важной разновидности условия, а пока рассмотрим более содержательное задание:

Пример 2

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже. С прямыми   всё понятно, осталось прояснить вид линий 2-го порядка. Выделяем полные квадраты:  – окружность единичного радиуса с центром в точке  .

 – окружность с центром в точке   радиуса 2.

Таким образом:

В условии задачи ничего не сказано о полярной системе координат, и поэтому площадь фигуры можно рассчитать «обычным» двойным интегралом. Но что-то не хочется. Впрочем, если найдётся энтузиаст и отправит мне разборчивое решение, то я его, пожалуй, опубликую в качестве страшилки =)