Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла?

Начинаем рассматривать собственно процесс вычисления двойного интеграла   и знакомиться с его геометрическим смыслом.

Двойной интеграл   численно равен площади плоской фигуры   (области интегрирования). Это простейший вид двойного интеграла, когда функция двух переменных равна единице:  .

Сначала рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас вы немало удивитесь, насколько всё действительно просто! Вычислим площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями  . Для определённости считаем, что   на отрезке  . Площадь данной фигуры численно равна:

Изобразим область   на чертеже:

Выберем первый способ обхода области:

Таким образом: 

И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.

1) Вычислим внутренний интеграл, при этом интегрирование проводится по переменной «игрек»:

Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, а функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел

2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:

Более компактная запись всего решения выглядит так:

Полученная формула   – это в точности рабочая формула для вычисления площади плоской фигуры с помощью «обычного» определённого интеграла! Смотрите урок Вычисление площади с помощью определенного интеграла, там она на каждом шагу!

То есть, задача вычисления площади с помощью двойного интеграла мало чем отличается от задачи нахождения площади с помощью определённого интеграла!Фактически это одно и тоже!

Соответственно, никаких трудностей возникнуть не должно! Я рассмотрю не очень много примеров, так как вы, по сути, неоднократно сталкивались с данной задачей.

Пример 9

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями  , 

Решение: Изобразим область   на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Выберем следующий порядок  обхода области: Здесь и далее я не буду останавливаться на том, как выполнять обход области, поскольку в первом параграфе были приведены очень подробные разъяснения.

Таким образом:

Как я уже отмечал, начинающим лучше вычислять повторные интегралы по отдельности, этого же метода буду придерживаться и я:

1) Сначала с помощью формулы Ньютона-Лейбница разбираемся с внутренним интегралом:

2) Результат, полученный на первом шаге, подставляем во внешний интеграл:

Пункт 2 – фактически нахождение площади плоской фигуры с помощью определённого интеграла.

Ответ: 

Вот такая вот глупая и наивная задача.

Любопытный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями  ,  , 

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

В Примерах 9-10 значительно выгоднее использовать первый способ обхода области, любознательные читатели, кстати, могут изменить порядок обхода и вычислить площади вторым способом. Если не допустите ошибку, то, естественно, получатся те же самые значения площадей.

Но в ряде случаев более эффективен второй способ обхода области, и в заключение курса молодого ботана рассмотрим ещё пару примеров на эту тему:

Пример 11

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями  , 

Решение: нас с нетерпением ждут две параболы, которые лежат на боку.

Как проще всего сделать чертёж?

Представим параболу   в виде двух функций:  – верхняя ветвь и   – нижняя ветвь.

Аналогично, представим параболу   в виде верхней   и нижней   ветвей.

Далее рулит поточечное построение графиков, в результате чего получается вот такая причудливая фигура:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле:

Что будет, если мы выберем первый способ обхода области? Во-первых, данную область придётся разделить на две части. А во-вторых, мы будем наблюдать сию печальную картину:  . Интегралы, конечно, не сверхсложного уровня, но… существует старая математическая присказка: кто с корнями дружен, тому зачёт не нужен.

Поэтому из недоразумения, которое дано в условии, выразим обратные функции: Обратные функции в данном примере обладают тем преимуществом, что задают сразу всю параболу целиком без всяких там листьев, желудей веток и корней.

Согласно второму способу, обход области будет следующим:

Таким образом: Как говорится, ощутите разницу.

1) Расправляемся с внутренним интегралом:

Результат подставляем во внешний интеграл:

2)

Интегрирование по переменной «игрек» не должно смущать, была бы буква «зю» – замечательно бы проинтегрировалось и по ней. Хотя кто прочитал второй параграф урокаКак вычислить объем тела вращения, тот уже не испытывает ни малейшей неловкости с интегрированием по «игрек».

Также обратите внимание на первый шаг: подынтегральная функция   является чётной, а отрезок интегрирования симметричен относительно нуля. Поэтому отрезок можно споловинить, а результат – удвоить. Данный приём подробно закомментирован на урокеЭффективные методы вычисления определённого интеграла.

Что добавить…. Всё!

Ответ: 

Для проверки своей техники интегрирования можете попробовать вычислить  . Ответ должен получиться точно таким же.

Пример 12

С помощью двойного интеграла, вычислить площадь плоской фигуры  , ограниченной линиями 

Это пример для самостоятельного решения. Интересно отметить, что если вы попробуете использовать первый способ обхода области, то фигуру придётся разделить уже не на две, а на три части! И, соответственно, получится три пары повторных интегралов. Бывает и такое.

Мастер класс подошел к завершению, и пора переходить на гроссмейстерский уровень –Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений. Постараюсь во второй статье так не маньячить =)

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Изобразим область   на чертеже: Выберем следующий порядок обхода области: Таким образом:  Перейдём к обратным функциям:  Изменим порядок обхода области: Таким образом:  Ответ: 

Пример 4: Решение: Перейдём к прямым функциям: Выполним чертёж: Изменим порядок обхода области: Ответ: 

Пример 6: Решение: Выполним чертеж:

Перейдем к обратным функциям: Изменим порядок интегрирования, разделив область интегрирования на две части. При этом порядок обхода области: 1)  , 2)  Ответ: 

Пример 8: Решение: Изобразим область интегрирования на чертеже:  Перейдём к обратным функциям: Изменим порядок обхода тела:  Ответ: 

Пример 10: Решение: Изобразим область   на чертеже: Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле: Выберем следующий порядок  обхода области: Таким образом:  1)  2)  Ответ: 

Пример 12: Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже:

Площадь фигуры вычислим с помощью двойного интеграла по формуле: Перейдём к обратным функциям: Порядок обхода области: Таким образом: 1)  2) Ответ: