Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функция процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи»   и произвольном периоде «два эль»  .

Предположим, что наша функция   чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент:  .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка  :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций  . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция  . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом  , где   – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке  , построить функцию   и график полной суммы ряда  .

Решение:  в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения  , полупериод  . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция   является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:  .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам  . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля  , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Раз:

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:  , при этом константу  , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ: 

2) Запишем  разложение   на промежутке  , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода  :

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика   вряд ли нуждается в комментариях:  Хотел ещё построить частичную сумму  , но её график практически совпал с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.

Ответ: 

Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции  . И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным материалам.

Если   – нечётная функция, то в разложениях Фурье   ,   оказываются лишними  чётные косинусы, из чего следует равенство  . Более того, коэффициент   тоже равен нулю, в чём легко убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю:  .

Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:  на промежутке   или   на произвольном периоде.

При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье:  или   соответственно.

Небольшая миниатюра для самостоятельного решения:

Пример 7

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы  ряда не менее чем на 3-х периодах

Решение и ответ в конце урока.

Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:

Разложить функцию   в ряд Фурье по косинусам на промежутке  .

Если по условию не нужно чертежа, тихой сапой применяем формулы   и даём ответ в виде  . Про чётность можно скромно умолчать ;-)

Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать следующее: разложение по косинусам отобразит отрезок прямой   (чёрная линия) чётным образом (симметрично относительно оси  ) на интервал   (зелёная линия), и, очевидно, функция   будет иметь непрерывный пилообразный график: В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически. Начинающим рекомендую графический метод: сначала на промежутке   чертим отрезок прямой  , затем, симметрично относительно оси ординат – его «зелёного» коллегу. Находим уравнение прямой  , которая содержит зелёный отрезок (устно, или, например, по двум точкам.

Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому:  Разложить функцию   в ряд Фурье.

Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам ;-) Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.

Условие чётности   нетрудно проверить и аналитически. В левую часть функции подставляем «минус икс»:   – в результате чего «на выходе» получаем правую часть.

Решение данного примера есть в соответствующем архиве (Папка Ряды_7), который можно бесплатно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Аналогично вуалируется нечётность:

Разложить функцию   в ряд Фурье по синусам на промежутке  .

Если чертёж не нужен, ищем коэффициент   и записываем ответ в виде . О нечётности снова молчок ;-)  Однако в любом случае полезно знать следующее: разложение по синусам отобразит отрезок прямой   (чёрная линия)нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал   (зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда: Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:  Разложить функцию   в ряд Фурье.

Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.

Проверим условие нечётности   аналитически, для этого в левый кусок функции подставляем «минус икс»:   – в результате чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.

Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо.

Наш полёт подошёл к концу, и есть такое подозрение,  что немалая часть экипажа хочет отправиться в экспедицию на Марс =) Дополнительные задачи с решениями можно закачать в Банке готовых работ. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которые включил примеры, не вошедшие в статью (всё-таки нужно соблюдать разумные рамки), а также ряды Фурье повышенной сложности, в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа.

Удачного путешествия – и обязательно возвращайтесь!  

Решения и ответы:

Пример 1: Решение:

Пример 3: Решение: В данной задаче период разложения  , полупериод  . Разложим функцию в ряд Фурье:  . Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье: Интегрируем по частям: Интегрируем по частям: Искомое разложение имеет вид: В данном случае: Изобразим на чертеже исходную функцию (чёрный пунктир/точки) и график суммы ряда: Ответ: 

Пример 5: Решение: в данной задаче период разложения  , полупериод  .  Разложим функцию в ряд Фурье: Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье: Интегрируем по частям: Интегрируем по частям: Таким образом: Изобразим на чертеже сумму ряда: Ответ: 

Пример 7: Решение: в данной задаче период разложения  , полупериод  . Функция является нечётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по синусам:  . Вычислим коэффициент Фурье: Таким образом:  Построим график суммы ряда: Ответ: 

Кратные интегралы: