Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде
Для
произвольного периода разложения 
,
где «эль» – любое положительное число,
формулы ряда Фурье и коэффициентов
Фурье отличаются немного усложнённым
аргументом синуса и косинуса:
Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.
Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:
Пример 4
Разложить
функцию
в
ряд Фурье и построить график суммы.
Решение:
фактически аналог Примера №3 с разрывом
1-го рода в
точке
.
В данной задаче период разложения 
,
полупериод 
.
Функция определена только на
полуинтервале 
,
но это не меняет дела – важно, что оба
куска функции интегрируемы.
Разложим
функцию в ряд Фурье:
Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1)
Первый интеграл распишу максимально
подробно:
2)
Тщательным образом вглядываемся в
поверхность Луны:
Второй
интеграл берём
по частям:
На
что следует обратить пристальное
внимание, после того, как мы
звёздочкой 
открываем
продолжение решения?
Во-первых,
не теряем первый интеграл 
,
где сразу же выполняемподведение
под знак дифференциала.
Во-вторых, не забываем злополучную
константу 
перед
большими скобками и не
путаемся в знаках при
использовании формулы
.
Большие скобки, всё-таки удобнее
раскрывать сразу же на следующем шаге.
Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.
Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)
3)
Учитывая неоднократно упоминавшиеся
слабые звенья, разбираемся с третьим
коэффициентом:
Интегрируем
по частям:
Подставим
найдённые коэффициенты Фурье 
в
формулу 
,
не забывая поделить нулевой коэффициент
пополам:
Построим
график суммы ряда. Кратко повторим
порядок действий: на интервале 
строим
прямую 
,
а на интервале 
–
прямую 
.
При нулевом значении «икс» ставим точку
посередине «скачка» разрыва 
и
«тиражируем» график на соседние
периоды:
На
«стыках» периодов 
сумма
также будет равна серединам «скачка»
разрыва 
.
Готово.
Напоминаю, что сама функция по условию
определена только на полуинтервале
и,
очевидно, совпадает с суммой ряда на
интервалах 
Ответ: 
Иногда
кусочно-заданная функция бывает и
непрерывна на периоде разложения.
Простейший образец: 
.
Решение (см.
2-ой том Бохана) такое
же, как и двух предыдущих примерах:
несмотря на непрерывность
функции в
точке
,
каждый коэффициент Фурье выражается
суммой двух интегралов.
На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.
А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:
Пример 5
Разложить
функцию 
в
ряд Фурье на промежутке 
и
построить график суммы ряда.
В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.